ign="justify"> S ? це площа області R , обмеженою контуром C .
2. Формула Гріна у векторній формі
Формулу Гріна можна записати також у векторній формі . Для цього введемо поняття ротора векторного поля.
Нехай векторне поле описується функцією
В
Ротором або вихором векторного поля називається вектор, що позначається або і рівний
В
Формула Гріна у векторній формі записується у вигляді
В
Зауважимо, що формула Гріна випливає з "теореми Стокса <#" center"> 3. Висновок формули Гріна з формули Стокса
Формула Кельвіна - Стокса
Нехай? - Кусково-гладка поверхня <# "14" src = "doc_zip37.jpg"/> - диференціюється векторне поле <# "16" src = "doc_zip38.jpg"/> дорівнює потоку <# "58" src = " doc_zip39.jpg "/>
або в координатної запису:
В В
Висновок з теореми Стокса:
Розглянемо диференціальну форму <# "18" src = "doc_zip42.jpg"/>. p> Тоді, використовуючи властивість диференціала диференціальної форми:
В
Звідси, використовуючи теорему Стокса :
В В
Висновок формули Гріна з формули Стокса:
Визначаючи диференціальну форму <# "18" src = "doc_zip47.jpg"/>, знайдемо її зовнішній диференціал <# "48" src = "doc_zip48.jpg"/>
Беручи до уваги, що
і:
В
Звідси використовуючи теорему Стокса :
В
4. Застосування формули Гріна
Задача 1.
Застосовуючи формулу Гріна, обчислити наступний криволінійний інтеграл:
В
де С - пробігаю в позитивному напрямку контур, що обмежує область D = {(x, y) 0 < x
Рішення:
За формулою Гріна, маю:
В
Задача 2.
На скільки відрізняються один від одного криволінійні інтеграли
В
де AmB - в...
