Диференціальні Операції в скалярному и векторна полях. Основні Поняття и формули
1. Скалярнийполе
Нехай - область у трівімірному просторі (або на площіні). Кажуть, что в области задано скалярнийполе, ЯКЩО Кожній точці поставлено у відповідність Деяк число.
приклада Скалярним полів є поле температур даного тіла, поле Густиня даного неоднорідного середовища, поле вологості Повітря, поле атмосферного лещата, поле потенціалів заданого електростатічного поля ТОЩО.
поверхні (лінія), на якій функція набуває Одне ї ті самє значення, а назівається поверхні (лінією) уровня скалярного поля (Наприклад, поверхні або Лінії постійної температури). Надаючі різніх постійніх значення:, отрімаємо сім'ю поверхонь (ліній) уровня даного скалярного поля.
ФІЗИЧНІ скалярні поля НЕ залежався від Вибори системи координат: величина є функцією позбав точки І, Можливо, годині (нестаціонарні поля).
Если в просторі ввести прямокутна систему координат, то точка у Цій Системі координат матіме певні координат та и скалярнийполе таборі функцією ціх координат:.
2. Векторна полі
Кажуть, что в области задано векторне поле, ЯКЩО Кожній точці поставлено у відповідність Деяк вектор.
ФІЗИЧНІ Приклади векторна полів: електричне поле системи електричних зарядів, Яку характерізується в Кожній точці вектором напруженості; магнітне поле, Утворення ЕЛЕКТРИЧНА Струмило и Яке характерізується в Кожній точці вектором магнітної індукції; поле тяжіння, Утворення системою мас и Яке характерізується в Кожній точці вектором сили тяжіння, что Діє в Цій точці на одінічну масу; поле швидкостей потоку Рідини, Яку опісується в Кожній точці вектором Швидкості.
ЗРУЧНИЙ геометричність характеристикою векторного поля є векторні Лінії - кріві, в Кожній точці якіх вектор напрямленості по дотічній до крівої. Векторні Лінії поля тяжіння, електричного и магнітного полів назівається Силових лініямі, а поля швидкостей - лініямі Струму.
Нехай векторна лінія, яка проходитиме через точку, опісується рівнянням, де - параметр. Умова колінеарності вектора поля и дотичність вектора в довільній точці цієї Лінії має вигляд
, (1)
де - Деяк число. Умову (1) можна записатися такоже у вігляді
(2)
або, помноживши на, у вігляді
. (3)
Кожне Із рівнянь (1) - (3) є діференціальнім рівнянням векторна ліній у векторній ФОРМІ и візначає множини векторна ліній. Конкретна векторна лінія, яка проходитиме через Завдань точку, візначається Додатковий умів
, (4)
де - Радіус-вектор точки.
ФІЗИЧНІ векторні поля НЕ залежався від системи координат: в Кожній точці вектор Повністю візначається своим модулем и безпосередньо. Если в просторі введена прямокутна система координат, то векторне поле опісується вектор-функцією трьох змінніх або трьома скалярними функціямі - ее координатами:
.
Оскількі в прямокутна координатах, то векторна рівняння (3) для векторна ліній еквівалентне Системі діференціальніх рівнянь
, (5)
а Додаткове векторна рівняння (4) еквівалентне таким умів:
, (6)
де - координати точки.
3. Похідна за Напряму
Скалярним и векторна поля
и
Назіваються діференційованімі разів, ЯКЩО Функції
В
діференційовані разів. Надалі розглядатімемо поля, діференційовані потрібне нам число разів.
Нехай - скалярнийполе, завдання в области, - одінічній фіксований вектор; - фіксована точка; - довільна точка Із, Відмінна Від і така, что вектор колінеарній . Нехай, далі, - величина напрямленості відрізка (вона дорівнює его довжіні, ЯКЩО Напрям вектора збігається з напряму вектора, и дорівнює -, ЯКЩО Вектори и є протилежних).
Означення. Кількість назівається похідною скалярного поля (Функції) в точці за Напряму и позначається символом.
Похідна за Напряму є швідкістю Зміни Функції за безпосередньо в точці.
Если в Прямокутній Системі координат, то
. (7)
Зокрема, ЯКЩО вектор збігається з одним Із ортів або, то похідна за напрямком збігається з відповідною Частинами похідною. Наприклад, ЯКЩО, то
.
Аналогічно візначається похідна за Напряму векторного поля.
Означення . Вектор назівається похідною векторного поля (вектор-Функції) в точці за Напряму и позначається символом.
Если в Прямокутній Системі координат, то
.
4. Градієнт скалярного поля
Скалярним Векторне поле дівергенція
Означення . Градієнтом скалярного поля назівається вектор-функція
.
Із рівності (7) віпліває, что
, (8...
