n="justify"> 1 . Орієнтація контуру називається позитивної , якщо при обході (відповідного зростанню параметра) контуру , область залишається зліва (такий обхід зазвичай називається обходом контуру проти годинникової стрілки), в іншому випадку - негативним .
Будемо позначати позитивно орієнтований контур + , а негативно орієнтований - -.
Формулу Гріна доведемо для простих областей .
Визначення 2 . Плоска область G називається простою щодо осі Оу, якщо її границя Г складається з графіків двох неперервних на функцій , < span align = "justify"> і, можливо, двох відрізків прямих .
В
Формулювання:
Нехай C - позитивно орієнтована кусково-гладка замкнута крива на площині, а D - область, обмежена кривою C . Якщо функції <# "46" src = "doc_zip13.jpg"/>,, то
В
На символі інтеграла часто малюють коло, щоб підкреслити, що крива З замкнута.
Доказ:
Формулу Гріна доведемо для простих областей D .
Нехай область D - криволінійна трапеція (область, циліндрична в напрямку OY ):
В
В
Для кривої C , що обмежує область D задамо напрямок обходу за годинниковою стрілкою.
Тоді:
В В
Зауважимо, що обидва отриманих інтеграла можна замінити криволінійними інтегралами:
В В
Інтеграл по C 1 береться зі знаком "мінус", тому що відповідно до орієнтації контуру C напрямок обходу даної частини - від b до a .
Криволінійні інтеграли по C 2 і C 4 будуть рівні нулю, так як:
В В
Замінимо в (1) інтеграли згідно (2) і (3), а також додамо (4) і (5), рівні нулю і тому не впливають на значення виразу:
В
Так як обхід за годинниковою стрілкою при правої орієнтації площині є негативним напрямком, то сума інтегралів у правій частині є криволінійним інтегралом по замкненій кривій C в негативному напрямку:
В
Аналогічно доводиться формула:
В
якщо в якості області D взяти область, правильну в напрямку OX .
Складаючи (6) і (7), отримаємо:
В
Якщо , то формула Гріна приймає вигляд
В
де
