:
В
Тобто, якщо, то існує єдине стаціонарне рішення.
Знайдемо точку k1 *, в якій.
- спадаючий, тому що . p> При цьому при.
Точка k1 * існує, причому 0
Досліджуємо нестаціонарне рішення рівняння (19):
Зауважимо, що якщо, то, k (t) - зростаюча.
Якщо, то, k (t) - спадна.
Отже, якщо, то при деякому t> 0, k (t) - зростаюча.
Якщо, то при деякому t> 0, k (t) - спадна.
Перетини k (t) і ні.
В
Рис.2
Досліджуємо більш докладно поведінка k (t). Продиференціюємо (19) вдруге за t
В
Зауважимо, що якщо, то;
При:, таким чином, при справедливо.
Інакше:, або при k1 *. Таким чином, при 0
k (t) опукла (вниз).
Якщо, то
Якщо і, то.
Таким чином, виконана умова (22)
При k1 *
Аналогічно можна показати, що при
Остаточні співвідношення для другої похідної
При виконується,, тоді.
При k1 *
При k (0)> k виконується,, тоді.
На підставі цього аналізу отримуємо загальну картину інтегральних кривих:
В
Рис.3
Припустимо, що у вихідній моделі (функція Кобба-Дугласа).
Тоді
.
В
Умова в нулі:
Основне рівняння:.
Задача Коші:
В
Рішення рівняння
Замінимо k на. Тоді
В
;
В
Будь траєкторія в межі наближається до стаціонарного рішенням.
Задача оптимального управління в неокласичної моделі економічного зростання
Основні параметри та характеристики моделі
- обсяг виробленого продукту;
- обсяг основних виробничих фондів (капітал);
- обсяг фонду споживання;
- обсяг інвестицій;
- об'єм робочої сили.
Питомі (відносні) параметри:
- фондоозброєність (капіталовооруженность);
- питомі інвестиції;
- питоме споживання;
- фондоозброєність (питома капітал).
Основні співвідношення
- динамічне співвідношення в моделі Солоу;
,;
;
;
;
;
.
Тоді основне рівняння:
В
Постановка задачі оптимального управління
Одновимірна завдання;
k = k (t) - стан (аналог параметра x = x (t));
з = с (t) - управління (аналог параметра u = u (t)).
Функціонал:
В
