"justify"> Задача з нескінченним горизонтом часу;
- коефіцієнт перерахунку вартості споживчих благ (дисконтування).
Іноді розглядається функціонал
В
Основне співвідношення (диференціальна зв'язок)
В
Загальне співвідношення в теорії
В
Граничні умови - закріплений лівий кінець;
В
Обмеження на керування:
- область допустимих управлінь.
Математична постановка задачі оптимального управління
В В
(25)
В
Застосуємо для вирішення завдання принцип максимуму Понтрягіна.
Множники Лагранжа, p (t) - сполучена змінна.
У цьому завданню ().
Функція Понтрягіна:
.
У цьому завданню
.
Поєднане рівняння (загальний вигляд):
.
економічне зростання система Солоу
У цьому завданню
;
- інтегрант.
В
;
В
Заміна змінної
,.
,
.
Підставимо співвідношення для
,
(поєднане рівняння)
Загальне рішення рівняння
В
Умова максимуму функції Понтрягіна:
В В
Загальний висновок
Якщо,, то максимум досягається при.
Якщо,, то максимум досягається при.
Якщо,, то функція Понтрягіна явно не залежить від, можна вибрати будь-яке значенні з допустимої області.
З умови максимуму
В
c - довільне допустиме значення управління,
з
Поєднане рівняння (після перетворення)
,
(невідоме)
Основне динамічне співвідношення (диференціальна зв'язок)
В В
Стаціонарний режим у системі: основні параметри не залежать від часу t
,
,
.
Обов'язкова умова:
Співвідношення для стаціонарних значень:
якщо, то, q = q (t)> 0 (загальний вигляд рішення),
то з (9) випливає:
В
- рішення рівняння для стаціонарного значення
.
Підставляємо:
В
Зазначимо, що за стаціонарне значення зручніше вибрати
, задовольняє (31), якщо,.
Розглянемо варіант.
(мінімально допустимий рівень споживання),
З (32) (рівняння для) отримуємо:
В
Досліджуємо рішення рівняння (35), тобто поведінку.
Розглянемо стаціонарні рішення рівняння (35).
Рівняння для:
В В
Умови на:,.
В
Рис.4
, - відома функція
Тоді рівняння (36) має не більше двох рішень.
Позначимо: - стаціонарні рішення рівняння (35).
Тоді розглянемо співвідношення між
. Якщо, то
В
з...
