іжності, буде позначатися S *, а його підпростору, що складаються з усіх вещественнозначних (позитивних, обмежених позитивних) полухарактеров, - через Sr * (відповідно S + *, S1 *). p> Для топологічної напівгрупи S через S ^ позначимо безліч всіх її обмежених полухарактеров (тобто ненульових безперервних гомоморфізмів з S в замкнене одиничний диск комплексній площині з операцією множення), наділене топологією рівномірної збіжності на компактних підмножинах S, а через S ^ + - підпростір цього простору, що складається з невід'ємних полухарактеров (зрозуміло, в дискретно випадку
S1 * = S ^ +).
Характером будемо називати полухарактер, рівний за модулем одиниці, а група характерів буде позначатися X.
Слід зазначити, що навіть у разі абелевих напівгруп із скороченнями безлічі S *, S + *, S ^, S ^ + і ряд їх множин є відносно поточечного множення лише частковими асоціативними группоідамі. (Дійсно, нехай, наприклад, S є мультиплікативна півгрупа 23. Тоді індикатори множин 2 3 і 3 2 належать S ^ +, але їх добуток дорівнює нулю). Тим не менше, всі ці группоіди є напівгрупами, якщо S містить одиницю. br/>
.2 Двоїстість Понтрягіна
Нехай G - комутативна група. Як було визначено вище, характером цієї групи називається гомоморфізм G в групу Т (одиничне коло комплексної площині), тобто така функція на G з комплексними значеннями, рівними 1 по абсолютній величині, що
(х + у) = (х) (у). (1)
Якщо G - топологічна група, то, як правило, термін В«характерВ» означає В«безперервний характерВ». Ми будемо вважати всі розглянуті характери безперервними, не обумовлюючи цього особливо. Якщо і - характери групи G, то їх твір - також характер; якщо - характер, то
(комплексне поєднане) - також характер. Таким чином, сукупність всіх характерів даної групи G утворює групу відносно операції звичайного множення функцій. Ця група позначається G ^ і називається групою, двоїстої до G. Група G стає топологічної групою, якщо визначити збіжність як рівномірну збіжність на кожному компакті K G.
Приклад
Нехай G = - група цілих чисел. Ясно, що кожен характер G ^ визначається своїм значенням на створюючому елементі 1 G (не плутати 1 з одиницею групи, роль якої грає 0). Справді, з (1) випливає, що
для всіх, (2)
Значення може бути будь-яким числом Т. Тим самим безліч G ототожнюється в цьому випадку з окружністю Т.
Теорема. Має місце ізоморфізм топологічних груп ^ = Т.
Доказ. Ми вже бачили, що безліч природно ототожнюється з Т. Покажемо, що це відповідність є ізоморфізмом топологічних груп. Будемо позначати через характер, який визначається умовою, Т. Рівність показує,
що відповідність є ізоморфізмом груп Т і ^. Залишилося перевірити, що це відповідність є гомеоморфізмом. Оскільки група дискретна, кожен компакт в складається з кінцевого числа точок. Значить, збіжність в є поточечной збіжністю. Рівн...
