на елементи S, якщо з рівності sx = sy (xs = ys), де s ГЋ S,
x, у ГЋ P, треба рівність х = у. Ми скажемо, що S - напівгрупа з (дво-сторонніми) скороченнями, якщо вона володіє і лівими, і правими скороченнями.
Група G називається групою лівих приватних напівгрупи S, якщо S занурюється в G, і кожен елемент x ГЋ G представляється у вигляді х = а -1 b, де
a, b ГЋ S. Відомо (теорема Оре), що напівгрупа S занурюється в групу лівих приватних тоді і тільки тоді, коли вона володіє скороченнями і реверсивні праворуч, тобто Sa? Sb? 0 для будь-яких a, b ГЋ S. Зокрема, будь-яка комутативна півгрупа зі скороченнями занурюється у групу приватних.
Напівгрупа S, наділена хаусдорфовой топологією, для якої відображення т (х, у) = ху із SS в S безперервно, називається топологічної полугруппой.
Топологічна група - це топологічна напівгрупа, що є групою, в якій неперервна також і операція переходу до зворотного елементу. Топологічна група називається локально компактної, якщо її топологічний простір локально компактно. p> Скажімо, що топологічна напівгрупа S занурюється в топологічну групу G, якщо існує взаємно-безперервний ін'ектівний гомоморфізм р: S? G. При цьому, коли це зручно, ми будемо ототожнювати S з її образом p (S) у групі G. У цьому випадку група S? S -1 оборотних елементів напівгрупи S буде позначатися G (S). p> Якщо X - топологічний простір, то найменша?-алгебра? (Х) його підмножин, що містить всі відкриті множини, називається? -Алгеброю борелевская множин. Міра?, Визначена на? -Кільці ГЌ? (Х), називається внутрішньо регулярної, якщо для будь-якого ВГЋ маємо
? (B) = sup {? (C): СГЌ В, С ГЋ, З компактно}. Мера на? (Х) називається борелевской заходом. Борелевская міра на хаусдорфових просторі X називається мірою Радону, якщо вона внутрішньо регулярна, і міри всіх компактних множин кінцеві. p> Лівою мірою Хаара на локально компактній групі G називається міра Радону?, інваріантна в тому сенсі, що? (хВ) =? (В) для будь-яких ВГЋ? (Х),
хГЋ G. Відомо (А. Хаар, А. Вейль), що ліва міра Хаара завжди існує і єдина з точністю до множника. Те ж вірно для правої заходи Хаара. Якщо група абелева, то просто говорять про міру Хаара на групі G.
Нехай тепер S - топологічна напівгрупа (не обов'язково абелева). Полухарактером напівгрупи S будемо називати безперервний гомоморфізм з S в напівгрупу з операцією множення (- одиничний диск комплексної площині), відмінний від тотожно нульового. Простір всіх полухарактеров напівгрупи S, наділене топологією поточечной зб...
