апроксимацією функції, заданої таблично.
Вдалий вибір емпіричної формули в значній мірі залежить від досвіду і знань дослідника в предметній області, використовуючи які він може правильно вказати клас функцій.
Для апроксимації спочатку визначають клас функцій, з яких вибирається апроксимуюча функція F (x, a l , a 1 , ..., a m ), і далі відшукують найкращі значення коефіцієнтів.
Найчастіше для апроксимації використовують метод найменших квадратів (МНК). Пояснимо геометричний сенс цього методу. Кожна пара чисел ( x i , y i ) з вихідної таблиці визначає точку Мi на площині XOY. Використовуючи формулу (2) з різними значеннями коефіцієнтів а 1 , а 2 , ..., а т , можна побудувати безліч кривих, які будуть графіками теоретичних функцій F (x, a l , a 2 , ..., a m ). Величина = F (x i , a 1 , а 2 < i>, ..., а т ) називається теоретичним значенням функції в точці хi. Різниця (- у i ) називається відхиленням або залишком і являє собою відстань по вертикалі від точки М, до графіка емпіричну функції. br/>В
Рис. 1. Геометричний зміст методу найменших квадратів
Відповідно до методу найменших квадратів, найкращими коефіцієнтами a1, a2, ..., a m вважаються ті, для яких сума квадратів відхилень знайдених теоретичних значень функції від заданих емпіричних значень буде мінімальною. Отже, завдання полягає у визначенні коефіцієнтів а 1 , а 2 , ..., а т таким чином, щоб сума квадратів відхилень була найменшою.
(a l , a 2 , ..., a m ) = (3)
Побудова емпіричних формул складається з двох етапів: з'ясування загального виду цієї формули і визначення її найкращих параметрів.
Якщо з теоретичних міркувань характер залежності між величинами х і у невідомий, то вид емпіричної залежності може бути довільним. Перевага віддається простим формулам, що володіє хорошою точністю. p> Велике значення має зображення отриманих експериментальних даних в декартових або в спеціальних системах координат. За положенням точок можна приблизно вгадати вид залежності шляхом встановлення подібності між побудованим графіком і зразками відомих кривих. p> Для того, щоб знайти набір коефіцієнтів а 1 , а 2 , ..., а т , при яких досягається мінімум функції S (a 1 , a 2 , ..., a m), обумовленою формулою (3), використовуємо необхідна умова екстремуму функції кількох змінних - рівність нулю приватних похідних. В результаті отримаємо нормальну систе...
