Звідси і з маємо В
Так як, отже,
В
Це означає, що, так як при.
Теорема доведена.
Властивість граничного безлічі, виражене теоремою 3, називається його инвариантностью. Така назва пояснюється тим, що в силу теореми 3 граничне безліч инвариантно щодо перетворення. З теореми 2 випливає також, що гомеоморфизм області. br/>
3. Наближене рішення диференціальних рівнянь
Розглянь систему у векторній запису
В
де,. Нехай у розглянутій області вектор-функція неперервна по і задовольняє умові Ліпшиця по
Через позначається будь-яка з звичайно застосовуваних норм вектора:
В В
або
В
Нехай рішення системи, а вектор-функція, що задовольняє нерівностям
В
Тоді має місце оцінка
. br/>
Це нерівність можна прийняти для грубої оцінки помилки наближеного рішення системи, а так само для оцінки зверху різниці рішення системи і рішення системи якщо.
Приклад. Оцінимо помилку наближеного рішення на зазначеному відрізку. p>, t, 1,,, =,.
Нехай =
,? , = F (t,). <В
=, = t
Отже, за формулою, одержимо
= + =
В
.
В
Використовуючи формули, отримаємо
В
то постійна Ліпшиця
Розраховуючи за формулою
,
отримаємо
В
Тоді відповіддю буде дане нерівність
В
Список використаних джерел
1.Бібіков Ю. Н. Курс звичайних диференціальних рівнянь. - М.: Вища школа, 1991.
2.Філіппов А. Ф. Збірник задач з диференціальних рівнянь. - Москва-Іжевськ: НДЦ В«Регулярна і хаотична динамікаВ», 2004
. Філіппов А. Ф. Введення в теорію диференціальних рівнянь. -
М.: КомКніга, 2007
. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Довідник по звичайних диференціальних рівнянь. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001
