демо індукцією по. Спочатку доведемо 1), 2), 3) при. Справедливість 1) при випливає з. Справедливість 2) при випливає з і, так як
В
Доведемо справедливість 3) при. У силу
В
Враховуючи, що рішення рівняння при, маємо
В
отже,
В
Очевидно, що Крім, того в силу справедливості 2) при. Використовуючи визначення, отримуємо, що при
В
звідки й випливає 3) при.
Припустимо тепер, що затвердження 1) - 3) леми 1
Справедливі для наближень з номерами 0, 1, ...,. Доведемо їх справедливість для-го наближення. p> а) Згідно п.2) індукційного припущення аргумент подинтегральной функції в належить, згідно п.1) функція неперервна, отже, подинтегральной функція неперервна як суперпозиція неперервних функцій, звідки і слід безперервність.
б) Досить довести, що
В
Маємо
В
Звідси, використовуючи п.3) індукційного припущення,,, отримуємо оцінку
В
в) У силу
В
Використовуючи твердження п.2) леми для наближень з номерами і та враховуючи, що задовольняє на умові Ліпшиця з постійною, з маємо
В
прі. У силу п.3) індукованого припущення
В
що й доводить справедливість П.В) для наближень з номером. Лемма 1 доведена. p> Питання про збіжність послідовності замінюємо еквівалентним питанням про збіжність ряду
В
де,. У силу п.3) леми 1 ряд сходиться рівномірно відносно до граничної функції. Так як неперервні, то і безперервна функція. Далі, так як f задовольняє на умові Ліпшиця по, то. p> Отже, в можна перейти до межі під знаком інтеграла. Маємо
В
т. е. рішення рівняння з початковими даними. Теорема 1 доведена. p> Слідство. Якщо, де тимчасовий інтервал, область простору, і всі рішення продовжимо на інтервал, то функція неперервна в області. p> Зокрема, для лінійної системи
В
де безперервна функція, фундаментальна матриця?, нормована при, неперервна в області.
2. Властивості граничних множин автономних систем
Розглянемо автономну систему
f
де область фазового простору.
Переформулюємо теорему 1 на мові траєкторій.
Теорема 2. Нехай рішення системи, причому, Для будь-якого можна вказати, що володіє наступною властивістю: будь-яка траєкторія системи, що проходить при через точку з околиці точки, визначена на проміжку і відстань прі. Зокрема, точка належить околиці точки. Якщо, то аналогічне твердження справедливе при
За допомогою теореми 2 можна встановити ще одну властивість граничних множин автономних систем.
Теорема 3. Граничні безлічі траєкторій автономних систем складаються з цілих траєкторій. p> Доказ проведемо для випадку граничного безлічі. Нехай є граничне безліч траєкторії системи та q. Нехай визначена як функція на. За теоремою 2 для будь-яких і можна вказати таке, що
В
Нехай фіксоване, при. Так як - гранична точка траєкторії, то для кожного можна вказати таке, що. ...
