Задача
Дана система лінійних рівнянь
Довести її спільність і вирішити трьома способами: 1) методом Гаусса; 2) засобами матричного числення, 3) за правилом Крамера. br/>В
Рішення:
Згідно правила Крамера система m лінійних рівнянь з n невідомими сумісна, якщо m = n і det | A |? 0. p align="justify"> Обчислимо визначник матриці А, складеної з коефіцієнтів при невідомій:
В
Отже система рівнянь совместна. Знайдемо її рішення:
. Методом Гауса. p align="justify"> Складемо розширену матрицю, яка містить також стовпець вільних членів
В
і приведемо її до трикутного вигляду шляхом рівносильних перетворень.
В
З останнього рядка отримуємо . Підставимо отримане значення в друге рівняння: . Звідки . З першого рівняння . Отже, .
Рішення системи:
2. Засобами матричного числення. p align="justify"> Вихідна система рівнянь в матричній формі має вигляд: AX = B. Її рішення можна записати у вигляді X = A -1 B, де A -1 - зворотна матриця до матриці коефіцієнтів системи.
Для вирішення системи необхідно обчислити зворотну матрицю. Обчислимо визначник вихідної матриці:
В
матриця рівняння гаус Крамер
Обчислимо алгебраїчні доповнення елементів вихідної матриці:
Складемо матрицю з отриманих додатки:
В
І запишемо зворотну матрицю:
В
Знайдемо рішення матричного рівняння:
В
Рішення системи:
. За правилом Крамера. p align="justify"> Обчислимо головний визначник
В
Для обчислення змінних знайдемо визначники:
В В В
Знайдемо змінні
В
Рішення системи:
