, співвідношення між ними за обсягом і пов'язані з цим операції над ними. Тому дослідження в галузі теорії множин зіграли істотну роль у становленні алгебри логіки. Згодом основним предметом алгебри логіки стало вивчення властивостей логічних операцій над безліччю висловлювань, розглянутих лише з боку їх логічних значень: досліджуються равносильности між формулами, приведення до нормальних формам, мінімізація формул і т.д.
Поступово були виділені основні властивості (класичних) логічних операцій у вигляді деякої кількості тотожностей (рівносильно). У сукупності ці тотожності утворили конструкцію під назвою "булева алгебра". Витонченої Аксіоматизації класу булевих алгебр є пари тотожностей з розділу 5: (II), (III), (IV), (V) і (B1), (B2). Одне з тотожностей (V) виводиться. Таким чином, булева алгебра є результат алгебраїчної формалізації класичної логіки висловлювань.
Незважаючи на простоту формулювання булеві алгебри виключно багаті за своїм змістом і давно перетворилися на самостійний розділ абстрактної алгебри. Вони знайшли саме широке застосування в логіко-математичних дослідженнях, в галузі інженерії контактно-релейних схем, комп'ютерних наук, аксіоматичної теорії множин, теорії моделей і в інших галузях науки і математики.
Результатом алгебраїчної формалізації логіки предикатів з'явилися "циліндричні алгебри", введені в 1961 р. Л. Хенкин і А. Тарським. p> У алгебраизации логіки особливу роль зіграла оригінальна ідея А. Лінденбаума (1926/27), який запропонував розглядати формалізований пропозіціональний мова як універсальну алгебру з операціями, відповідними логічним зв'язкам цієї ж мови. Але саме головне, потім будується логічна матриця з формул і логічних зв'язок, які складають саме логічне числення. Повне визнання цей метод отримав в 40-і роки в термінології "алгебри Лінденбаума", або "алгебри Лінденбаума-Тарського ". p> Поступово алгебраізація логіки привела до появи нового терміну "алгебраїчна логіка", який став назвою монографії П. Халмош, де методи і апарат універсальної алгебри стали систематично застосовуватися до вивчення логіки. У наступному році виходить "Математика метаматематики", а потім книга Расевой, що стала класичною, в якої алгебраїчні методи застосовуються до некласичним логікам. Мається огляд результатів з алгебраїчної логікою.
4 У пошуках логічної системи
Рівно через сто років після виходу в світ знаменитої роботи Г. Фреге, в якій вводяться предикати, заперечення, умовний зв'язок і квантори як основа логіки, а також введена ідея формальної системи, в якій демонстрації повинні здійснюватися за допомогою явно сформульованих синтаксичних правил, після ста років тріумфального розвитку логіки як самостійної науки з'являється стаття Я. Хеккінга під назвою "Що є логіка?". Хеккінг високо оцінює введення Г. Генценом структурних правил, робота з якими дозволяє висловлювати ті аспекти логічних систем, які не мають безпосереднього відношення до логічних констант. Стаття Хеккінга перевидається і відкриває собою велику збірку робіт під назвою "Що є логічна система?", який видається в Англії та Америці. У цьому ж році і з тією ж назвою, що і стаття Хеккінга, публікується філософська робота логіка зі світовим ім'ям Хао, яка відкривається визначеннями логіки, починаючи від Канта і аж до Геделя, і закінчується характеризацією логіки, даної Л. Вітгенштейном в 1921 р. в його "Трактаті ...": "Логіка трактує кожну можливість, і всі можливості суть її факти ".
У цьому ж році під назвою "Що є істинна елементарна логіка? "з'являється стаття видатного логіка і філософа Яакко Хінтіккі, в якій розвивається нова концепція первопорядковой логіки. p> Доводиться констатувати, що кінець століття і кінець другого тисячоліття, а саме 1994 стало тією критичною точкою, коли під неймовірним тиском остаточно звалилася конструкція під назвою "класична логіка ", тим самим ще раз підтвердивши неправоту Канта, який у передмові до другого видання "Критики чистого розуму" 1787 р. писав, що "судячи з усього, вона (логіка) здається наукою цілком закінченою і завершеною ".
Дедуктивна повнота логіки предикатів ще більше зміцнила переконання Гільберта, що вся класична математика в кінцевому рахунку виразність у первопорядковой логіці. До цього часу були вже виявлені два найважливіших теоретико-модельних властивості теорій в первопорядковой мовою:
Теорема Левенгейма-Ськулема. Якщо Т має нескінченну модель, то Т має модель будь нескінченної потужності t, більшою або рівною потужності теорії Т.
Теорема компактності. Нехай Т - довільна безліч аксіом логіки. Якщо для кожного кінцевого підмножини Т 0 безлічі Т існує модель для всіх аксіом з Т 0 , то існує модель для всіх аксіом з Т.
Обидві ці теореми використовуються для докази неаксіоматізіруемості теорій.
Вищенаведений теза Гільберта поділявся і поділяється багатьма логіками, що...
