к Grz. У середині 60-х років в результаті критики "парадоксів" суворої імплікації Льюїса (Тобто істина випливає з чого завгодно і з брехні слід все, що завгодно) оформляється релевантне напрям у логіці на чолі з системою R; додавання до R "нешкідливою" аксіоми призводить до логіки RM з досить незвичайними властивостями.
Аналізуючи об'єкти (логіки) тієї ж самої природи, наприклад з класу si-логік, ми сподіваємося вивчити і зрозуміти саму природу даного феномена і піднятися на новий рівень знання. Тому відкриваються різні способи конструювання нових логік з даного класу із заданими властивостями. Так, Т.Хосоі вводить поняття "шару" для класифікації si-логік. У протягом довгого часу залишалася надія знайти повний опис решітки модальних і si-логік - тоді можна було б "оглянути" будь-яку логіку і навіть, може бути, представити їх у вигляді обчислення.
У підсумку, критика "основних" законів і принципів класичної логіки привела до феномену логічної континуальности, вираженого як у континуальности самих класів логічних систем, так і в наявності континуальности замкнутих класів логічних функцій. Звідси виникає питання, чи є логічне мислення людини дискретним або континуальним? Відповідь на це питання також залежить від того, що ми розуміємо під логікою або логічної системою. І в рамках однієї чи логічної системи мислить людина? br/>
2 Розширення класичної логіки як наслідок її обмеження (переклади та занурення)
Якщо вивчення функціональних властивостей (Замкнуті класи, повнота, предполнота, базиси і т.д.) є прерогативою фахівців в області дискретної математики, інженерів, програмістів, фізиків, то вивчення логіки як об'єкта у вигляді обчислення відноситься до сфери "Чистої" логіки. p> Зазначена в попередньому розділі критика законів і основ класичної логіки носила безкомпромісний характер у своїй тенденції обмежити сферу останньої, але ніхто з перерахованих авторів не міг навіть припустити, що насправді неявним чином відбувається процес розширення засобів і апарату класичної логіки C 2 . З результату В. Глівенко про занурення C 2 в H випливає, що Інтуїционістськая логіка навіть "багатшими" C 2 . Більше того, Гедель показав, що класичні закони, що включають тільки заперечення, кон'юнкцію і квантор загальності, є інтуїционістському законами. Оскільки імплікація, диз'юнкція і квантор існування визначаються через зазначені "Інтуїционістському" логічні зв'язки, то можна строго стверджувати, що класична логіка предикатів є підсистема інтуїционістськой, а значить, друга є розширення першої. Геделем був також запропонований метод аксіоматизації льюїсовських модальних систем як розширення C 2 . Виявилося, що n-значні логіки (у тому числі і предикатні) аксіоматізіруются подібним чином. Одним з найперших прикладів у цій галузі є аксиоматизация в 1971 р. тризначною логіки безглуздості Д. А. Бочвара B 3 , яка за своїми функціональними властивостями слабкіше ЕЃ 3 , в той час як ЕЃ 3 не є функціонально повною. Вже в 1938 р. Д. А. Бочвар при побудові B 3 виділяє її тризначний фрагмент, ізоморфний C 2 , тобто цей фрагмент веріфіцірует всю класичну Пропозіціональние логіку. Вже звідси випливає, що B 3 можна будувати на основі C 2 . Зазначимо також, що і релевантна логіка R може бути побудована на основі C 2 (заперечення де Моргана замінюється на булево заперечення).
Занурення або переклад однієї логічної системи в іншу (першим прикладом якого є теорема Глівенко) до кінця нашого століття стає темою ретельного дослідження. Саме загальне поняття перекладу полягає в наступному: cистема S перекладні в S ', якщо існує функція (Можливо, але не необхідно відображення) між двома універсуму міркувань, яка зберігає (принаймні, в одну сторону) ставлення дедуціруемості.
Дослідження перекладів логічних систем забезпечує: нові семантики для некласичних логік, зводить метаматематичних і металогіческіх властивості однієї системи до іншої, щоб отримати потрібні результати, дозволяє точно виявити сенс дуальності між логіками (в першу чергу це відноситься до інтуїционістськой логіці), прояснює і виявляє взаємовідносини між абсолютно різними логічними системами.
3 алгебраизации логіки
Одночасно з традицією розвитку логіки як дедуктивної системи, що йде від Фреге, Уайтхеда і Рассела, розвивався зовсім інший підхід до логіки, найбільш повно виражений Е. Шредером у його трьохтомних "Лекціях з алгебри логіки" (1890-1905). У третьому томі розвивається числення відносин і вводяться квантори, але ніде немає поняття формального докази. Попередники Шредера Дж. Буль, В. Джевонс і Ч.С. Пірс, вперше застосували алгебраїчні методи до логіці. Звідси і сам термін "алгебра логіки". p> Спочатку алгебра логіки мала своїм предметом класи (як обсяги понять)...
