(1.10)
Напрямок для поверхні, яка охоплюється контуром, вибирається за правилом буравчика. Для замкнутої поверхні:
. (1.11)
Для замкнутої поверхні в якості позитивного завжди вибирається напрямок в сторону зовнішньої нормалі.
Визначимо потік вектора напруженості від точкового заряду q крізь замкнену поверхню, навколишнє заряд.
За законом Кулона напруженість поля точкового заряду:
.
Тоді, підставивши в (1.11), отримаємо:
. (1.12)
Врахуємо, що, тобто вираження в дужках являє собою проекцію на радіус-вектор. За визначенням, - це тілесний кут, під яким елемент видний з початку відліку радіуса - вектора (рис. 1.7).
Тоді
. (1.13)
Потік крізь замкнену поверхню вектора напруженості електричного поля дорівнює заряду, укладеним усередині поверхні.
Якщо заряд знаходиться поза замкнутої поверхні, то формула (1.12) не змінюється. Але тепер підінтегральний вираз приймає позитивні значення в тих точках поверхні, де кут
,
і негативні значення, коли:
,.
Тому:
.
В цьому випадку.
Узагальнюючи, запишемо:
. (1.14)
Ця формула називається теоремою Гаусса для точкового заряду.
Узагальнення на систему точкових зарядів проводиться за допомогою принципу суперпозиції. Для системи точкових зарядів:
,
Для вірна теорема Гаусса для точкового заряду, тобто
,
де V - показує, що підсумовуються лише заряди, що знаходяться всередині об'єму. Загальна формула, що виражає фундаментальну теорему Гаусса, запишеться тепер так:
. (1.15)
Потік вектора напруженості поля через довільну замкнуту поверхню дорівнює повному заряду, розташованому всередині цієї поверхні.
При безперервному зміну заряду усередині об'єму укладений заряд:
,
де інтегрування проводиться тільки за обсягом, укладеним всередині замкнутої поверхні.
Фізична основа справедливості теореми Гаусса пов'язана з законом Кулона, так як для точкового заряду, до якого ми наводимо висновок, в будь-якому випадку справедливою вважається залежність:
Таким чином, теорема Гаусса у вищенаведеному вигляді - це інтегральна формулювання закону Кулона.
Запишемо теорему Гаусса в диференціальній формі.
У математиці вводиться поняття дивергенції вектора:
, (1.16)
де - нескінченно мала замкнута поверхня, що обмежує об'єм. Показується, що:
, (1.17)
або, якщо ввести векторний оператор (Набла):
, (1.18)
. (1.19)
Розділивши ліву і праву частини формули (1.15) на і враховуючи, що об'ємна щільність заряду, отримаємо:
, (1.20)
- диференціальна форма теореми Гаусса.
Потік вектора з елементарного об'єму дорівнює об'ємної щільності заряду в ньому.- Це локальна формулювання теореми Гаусса.
З формулювання слід поняття джерела і стоку. Вектор починається там, де, тобто ; закінчується там, де,.
Силовий лінією електричного поля називається лінія, дотична до якої в кожній точці збігається з вектором напруженості поля.
Поняття «силова лін...
