>
Застосувати метод розподілу відрізка навпіл на інтервалі і знайти з точністю корені рівняння.
№
В В В
9
-3
0
В
РІШЕННЯ
Алгоритм методу половинного ділення полягає в наступному:
1. Вибрати нульове наближення x 0 = ( a + b)/2.
2. Якщо f ( x 0 ) = 0, то x 0 очевидно є коренем рівняння. p> 3. Якщо f ( x 0 ) в‰ 0, то перевірити умови f ( x 0 ) Г— f ( a) <0 і f ( x 0 ) Г— f ( b) <0 і вибрати той з відрізків [ a, х 0 ], [Х 0 , b], на кордонах якого виконано одну з цих умов (тобто функція f (х) має на кінцях відрізка протилежні знаки). p> 4. Обраний відрізок знову розділити навпіл і обчислити значення x 1 .
5. Для х 1 перевірити умова f (х 1 ) = 0 і , якщо воно не виконується, повернутися до п. 4.
6. Процес ділення відрізків навпіл продовжити доти, поки довжина відрізка, на кінцях якого функція має протилежні знаки, не буде менш e .
7. Прийняти, що умова f ( x k ) = 0 виконано, якщо
Нижче наведені блок-схема алгоритму і лістинг програми мовою Паскаль.
В
Program lab3;
function f1 (x: real): real;
begin
f1: = cos (0.2 * x * x-2);
end;
var
x, a, b, e: real;
iteraz: integer;
begin
write ('Input a = '); Readln (a);
write ('Input b = '); Readln (b);
write ('Input e = '); Readln (e);
iteraz: = 0;
x: = (a + b)/2;
while (F1 (x) <> 0) and (abs (a-b)> e) do
begin
x: = (a + b)/2;
iteraz: = iteraz +1;
if (f1 (a) * f1 (x)) <0 then b: = x
else a: = x;
writeln ('n =', iteraz, 'x =', x: 3:6, 'f (x) =', f1 (x): 3:6);
end ;
readln ;
end.
Вирішення цієї задачі було проведено і в MS Excel. Лист з вирішенням задачі і відповіддю наведено нижче. <В
Задача 4.
Обчислити визначений інтеграл методом прямокутників: або трапецій, на вибір.
,,,, з точністю.
Формула методу прямокутників:
Формула методу трапецій:.
№
В В В
9
-3ПЂ
0
В
РІШЕННЯ
Алгоритм методу трапецій полягає в наступному:
1. Відрізок [a, b] розбивається на n рівних частин.
2. Інтеграл являє собою площу криволінійної трапеції, обмеженою віссю OX, прямими x = a і x = b і графіком функції. Очевидно, що інтеграл від функції на відрізку дорівнює сумі інтегралів від цієї ж функції на кожному з маленьких відрізків, отриманих у результаті розбиття. Але на кожному з маленьких відрізків ми наближено замінюємо площа криволінійної трапеції на площу прямолінійною трапеції з підставою (заввишки), рівним довжині маленького відрізка, і висотами (підставами) f (x n ) і f (x n +1 ), де x n - ліва межа відрізка, x n +1 - Права межа відрізка. Підстава (висота трапеції) одно
(Ba)/n, і таким чином площа трапеції дорівнює
(F (x n ) + f (x n +1 )) (ba)/2n. У нас всього n трапецій, причому кожні дві сусідні трапеції мають однакові висоти (підстави). Таким чином, в суму кожне з f (x n ) крім f (a) і f (b) увійде двічі, і таким чином весь інтеграл обчислюється як, де.
3. У методі трапецій не визначений крок (кількість відрізків розбиття). Очевидно, що чим більше кількість відрізків, тим більше точним буде результат. Тому, задаємо початкове значення n (наприклад n = 10) і обчислюємо інтеграл. p> 4. Після цього подвоюємо n і знову обчислюємо інтеграл (п. 2). Порівнюючи отримані результати, робимо висновок, чи досягнута необхідна точність. p> 5. Якщо результати відрізняються один від одного менше ніж на Оµ, то необхідна точність досягнута. Якщо ні, то знову подвоюємо n і обчислюємо інтеграл ще р...
