/p>
і вектор поверхневих сил, діючий на частині поверхні,
(1.9)
Тоді робота зовнішніх сил може бути записана у вигляді
(1.10)
Повна енергія (функціонал Лагранжа) системи визначається як
(1.11)
Звідки, з урахуванням (1.6) і (1.10), отримаємо остаточний вираз
. (1.12)
Відповідно до загальних теоремами механіки, істинний стан рівноваги тіла відповідає мінімуму повної енергії, тобто задача зводиться до пошуку такого вектора, і як наслідок,, які дають. Рівняннями Ейлера цієї варіаційної задачі є рівняння рівноваги і статичні граничні умови.
МСЕ як метод Рітца.
Одним з головних моментів у методі Рітца мінімізації функціоналу енергії є побудова поля переміщень у вигляді розкладів за деякою системі координатних функцій
(2.1)
Які повинні задовольняти кинематическим граничним умовам. У класичному методі Рітца ці функції визначаються у всій області і повинні мати властивість повноти. По суті справи (2.1) є апроксимація вектора переміщень, певна відразу у всій області. Тут виявляється головна трудність пошуку рішення у вигляді (2.1), а саме: складність побудови функцій для областей неканонічної форми. Щоб уникнути цих ускладнень, було запропоновано розбивати вихідну область на окремі частини, геометрично більш простої структури, усередині яких будувати апроксимації значно простіше. Однак тут виникає нова трудність, пов'язана зі стикуванням цих окремих сегментів в плані виконання умов безперервності переміщень (рівняння рівноваги задовольняються варіаційно). Виходом була пропозиція прийняти як невизначених коефіцієнтів розкладань значень компонент переміщень в деякій системі точок (вузлів), як правило лежать на кордонах елементів, що стикуються. У результаті виходить така модифікація методу Рітца, яка називається метод кінцевих елементів.
Таким чином, МСЕ складається з наступних основних етапів:
Розбиття вихідної області на окремі частини (елементи) простої геометричної структури (для двовимірних задач це трикутники і чотирикутники).
На кордонах між окремими елементами, а в разі потреби і всередині елементів вводяться точки (вузли), переміщення яких далі вважаються основними невідомими.
Для окремого кінцевого елемента будується вираз функціоналу енергії як функції переміщень вузлів, що належать тільки цьому кінцевому елементу. Схема тут наступна. Розглянемо деякий m-ий елемент. Позначимо через вектор - вектор вузлових переміщень m - ого елемента
. (2.2)
Введемо апроксимації всередині елемента
, (2.3)
Де містить в собі деякі функції, її елементами будуть статечні функції, тобто поліноми. По (2.3) можемо обчислити вектор деформації (1.2) у вигляді
. (2.4)
Підставляючи (2.3), (2.4) в (1.12) отримаємо вираз енергії на елементі
. (2.5)
Так як параметри постійні на елементі, то (2.5) можемо записати у вигляді
, (2.6)
Де,
. (2.7)
- матриця жорсткості елемента, - вектор вузлових сил.
Будується функціонал енергії для всього тіла як сума значень енергії по всіх елементах. При цьому вважається, що переміщення вузлів, що належать різним елементам, однакові для всіх прилеглих елементів. Ф...
