ксимуму (мінімуму) при умовах,,. . . ,, Де? i (x),, - деякі функції декількох змінних, визначені в околиці точки a, якщо існує така проколота околиця точки a, що для всіх точок, що задовольняють умовам,, вірно нерівність
Поняття умовного локального максимуму і мінімуму об'єднують під загальною назвою умовний екстремум функції. Якщо у визначенні 1 нерівності строгі, то говорять про суворе умовному екстремумі функції.
Задачу дослідження функції: на умовний екстремум при обмеженнях,, заданих за допомогою функцій:, часто записують у вигляді
і називають завданням на умовний екстремум. При цьому функцію називають цільовою функцією. Умови (4) у загальному випадку являють собою систему нелінійних рівнянь - рівнянь зв'язку.
Метод рішення, використаний у прикладі 1, може застосовуватися лише в найпростіших ситуаціях. Поширення цього методу на загальний випадок наштовхується на труднощі, пов'язані з виключенням частини змінних з аргументів цільової функції за допомогою рівнянь зв'язку. Такий підхід призводить до необхідності вирішувати систему нелінійних рівнянь, а це, як відомо, - складне завдання. Відзначимо, що виключення невідомих за допомогою рівнянь зв'язку приводить потім до задачі пошуку локального екстремуму функції кількох змінних, тобто до вирішення ще однієї системи нелінійних рівнянь, які виходять прирівнянням нулю приватних похідних. Виняток невідомих потрібно лише потім, щоб обчислити ці приватні похідні, але приватні похідні можна також обчислити і за допомогою теореми про неявну функції. У цьому випадку виключення невідомих фактично вже не потрібно, і вирішення завдання спрощується. Розвитку цього підходу на основі теореми про неявну функції ми і приділимо увагу, почавши з більш простої задачі для умовного екстремуму функції двох змінних.
Необхідна умова умовного екстремуму
Зупинимося на найпростішому випадку функції двох змінних.
Теорема 1 (необхідна умова умовного екстремуму). Нехай функції двох змінних і визначені і безперервно діфференцируєми в околиці точки. Якщо функція має в точці умовний екстремум за умови, причому, то існує таке число, яке разом з координатами і точки задовольняє системі рівнянь
Оскільки, то одна з приватних похідних першого порядку функції у точці відмінна від нуля. Нехай, наприклад,. По теоремі про неявної функції в деякому прямокутнику
з центром в точці рівняння вирішуваний щодо змінного, тобто задає неявну функцію, безперервно дифференцируемую в околиці точки a, причому
В прямокутнику точки, що задовольняють умові, мають вигляд, де. Значить, якщо функція має в точці P умовний екстремум за умови, то функція одного змінного має в точці локальний екстремум. Ця функція, як композиція диференційовних функцій, є диференційованою в точці. Отже, в силу необхідної умови локального екстремуму вірно співвідношення. Згідно з правилом диференціювання складної функції і рівності (6), знаходимо
Введемо позначення. Тоді
де перше з цих рівнянь випливає з умови, а друга еквівалентно рівності, що визначає число. Додавши до цих рівнянь рівність, яка повинна виконуватися в точці ум...
