овного локального екстремуму, отримаємо систему рівнянь (5).
Доказ теореми у випадку, коли, проводиться аналогічно.
Систему рівнянь (5) можна записати у вигляді
і надати їй наступну геометричну інтерпретацію: якщо в точці умовного екстремуму виконуються умови теореми 1, то лінія рівня цільової функції стосується кривої, заданої рівнянням зв'язку. На рис. 1, а показано, чому в цьому випадку необхідна умова не може порушуватися в точці умовного екстремуму. Представлені лінії рівня, і. У зображеної ситуації (це визначається напрямком градієнта функції, що є напрямком її росту) і функція на кривій не може мати екстремуму. На рис. 1, б показано поведінку функції в околиці умовного максимуму. Відповідно до зазначеного напрямком градієнта функції маємо, що й забезпечує локальний максимум в точці на кривій. На рис. 1, в зображена ситуація, при якій необхідна умова умовного екстремуму виконано, але екстремуму проте немає (відповідно до напрямку в точці маємо).
Рис. 1. Поведінка функції у різних ситуаціях
Введемо функцію
яку називають функцією Лагранжа, де - множник Лагранжа. Тоді система (5) матиме вигляд
Таким чином, завдання на умовний екстремум
при виконанні умов теореми 1 зводиться до пошуку стаціонарних точок функції Лагранжа (7) та їх аналізу.
Приклад 2. Знайдемо точки, підозрілі на умовний екстремум, в задачі
сформульованої в прикладі 1.
Функції і задовольняють умовам теореми 1, тому вирішувати завдання можна за допомогою функції Лагранжа.
Складемо функцію Лагранжа (7):
Необхідні умови (8) умовного екстремуму призводять до системи рівнянь
,
,
.
Висловлюючи і з перших двох рівнянь і підставляючи ці вирази в третє рівняння, знаходимо, звідки і. Отже, умовний екстремум в розглянутій задачі може бути тільки в точці (рис. 2).
Рис. 2. Демонстрація умовного екстремуму
Необхідна умова для завдання загального вигляду (3), (4) може бути отримано за тією ж схемою, що і в окремому випадку двох змінних. У задачі (3), (4) функція Лагранжа за визначенням має вигляд
При цьому числа,, називають множниками Лагранжа в цьому завданні.
Теорема 2. Нехай функції: і:,, визначені і безперервно діфференцируєми в околиці точки, причому ранг матриці приватних похідних функції в точці дорівнює. Якщо в точці функція має умовний локальний екстремум при умовах,, то існують такі числа,,. . . ,
, які разом з координатами точки a задовольняють системі рівнянь
Достатні умови умовного екстремуму
Достатні умови умовного екстремуму в задачі (3), (4) можна сформулювати за допомогою функції Лагранжа. Нехай в задачі на умовний екстремум функції: при умовах,, заданих функціями:, в точці виконано необхідна умова умовного екстремуму. У цьому випадку в точці визначений вектор множник...
