истемою в постійний сигнал.
. При проходженні через лінійну систему синусоїда залишається синусоїдою. Можуть змінитися лише її амплітуда і фаза (зсув у часі).
Друга властивість особливо важливо, тому воно вказує на найважливіший метод ана-лізу лінійних систем за допомогою розкладання вхідних і вихідних сигналів на синусоїди (Фур'є-аналіз).
Що означає «проходження синусоїди через лінійну систему»? Це означає, що синусоїда подається на вхід системи нескінченно довго, тобто від t =?? до t=+?. Якщо ж синусоїду почали подавати лише в деякий конкретний момент часу (а до цього подавалося щось інше, наприклад, - 0), то після початку подачі синусоїди на вхід ми можемо отримати синусоїду на виході не відразу. Вихідний сигнал поступово почне набувати синусоїдальну форму. Швидкість «прагнення до вірної синусоїді» на виході залежить від конкретної лінійної системи.
.1 Дискретні та безперервні сигнали
.1.1 Теорема Котельникова
Більшість реальних сигналів (наприклад, звукових) є безперервними функціями (якщо знехтувати квантовими ефектами). Для обробки на комп'ютері потрібно перевести сигнали в цифрову форму. Один зі способів зробити це - рівномірно по часу виміряти значення сигналу на певному проміжку часу і ввести отримані значення амплітуд в комп'ютер. Якщо робити вимірювання досить часто, то за отриманим дискретному сигналу можна буде досить точно відновити вигляд початкового безперервного сигналу.
Процес виміру величини сигналу через рівні проміжки часу називається рівномірною (за часом) дискретизацією. Багато пристроїв для введення даних в комп'ютер здійснюють дискретизацію. Наприклад, звукова карта діскретізіруется сигнал з мікрофону, сканер діскретізіруется сигнал, що надходить з фотоелемента. В результаті дискретизації безперервний (аналоговий) сигнал переводиться в послідовність чисел. Пристрій, що виконує цей процес, називається аналогово-цифровим перетворювачем (АЦП, analogue-to-digital converter, ADC). Частота, з якою АЦП виробляє виміри аналогового сигналу і видає його цифрові значення, називається частотою дискретизації.
Постає питання: за яких умов на вихідний сигнал і на частоту дискретизації можна з необхідним ступенем точності відновити вихідний сигнал за його цифровим значенням? Відповідь на це питання дає важлива теорема Котельникова. Однак щоб її зрозуміти, необхідно познайомитися з поняттям спектра безперервного сигналу.
Як відомо з аналізу, будь-яка безперервна функція може бути розкладена в інтеграл Фур'є. Сенс цього розкладання полягає в тому, що функція представляється у вигляді суми «ряду» синусоїд з різними амплітудами. Коефіцієнти (амплітуди) при синусоидах називаються спектром функції. У відносно гладких функцій спектр швидко убуває (із зростанням частоти коефіцієнти швидко прямують до нуля). Для відносно «ламаних» функцій спектр убуває повільно, тому що для представлення розривів і «зламів» функції потрібні синусоїди з великими частотами.
Кажуть, що сигнал має обмежений спектр, якщо вище певної частоти всі коефіцієнти спектра дорівнюють нулю. У цьому випадку говорять, що спектр сигналу лежить нижче частоти F (обмежений частотою F), де F - частота, вище якої спектр дорівнює нулю.
Теорема Котельник...
