ова (Найквіста, Шеннона): якщо сигнал такий, що його спектр обмежений частотою F, то після дискретизації сигналу з частотою не менш 2F можна відновити вихідний безперервний сигнал по отриманому цифрового сигналу абсолютно точно. Для цього потрібно проінтерполіровать цифровий сигнал «між відліку» спеціального виду функціями (sinc-функціями).
На практиці ця теорема має величезне значення. Наприклад, відомо, що більшість звукових сигналів можна з деякою мірою точності вважати сигналами з обмеженим спектром. Їх спектр, в основному, лежить нижче 20 кГц. Це означає, що при дискретизації з частотою не менше 40 кГц ми можемо потім більш-менш точно відновити вихідний аналоговий звуковий сигнал за його цифровим отсчетам. Абсолютної точності досягти не вдасться, так як в природі не буває сигналів з ідеально обмеженим спектром.
Пристрій, який интерполирует дискретний сигнал до безперервного, називається цифро-аналоговим перетворювачем (ЦАП, digital-to-analogue converter, DAC). Ці пристрої застосовуються, наприклад, в програвачах компакт-дисків для відновлення звуку по цифровому звуковому сигналу, записаного на компакт-диск. Частота дискретизації звукового сигналу при запису на компакт-диск становить 44100 Гц. Таким чином, кажуть, що ЦАП на CD-плеєрі працює на частоті 44100 Гц.
.1.2 Накладення спектрів (алиасинг)
Що станеться, якщо спробувати оцифрувати сигнал з недостатньою для нього частотою дискретизації (або якщо спектр сигналу не обмежений)? У цьому випадку за отриманою цифровий вибірці не можна буде вірно відновити вихідний сигнал. Відновлений сигнал буде виглядати таким чином, як якщо б частоти, що лежать вище половини частоти дискретизації, відбилися від половини частоти дискретизації, перейшли в нижню частину спектру і наклалися на частоти, вже присутні в нижній частині спектра. Цей ефект називається накладенням спектрів або алиасинг (aliasing).
Припустимо, що ми спробували оцифрувати музику, спектр якої обмежений частотою 20 кГц, але при записі якийсь електроприлад (наприклад, дисплей) згенерував сильну перешкоду з ультразвуковою частотою 39 кГц, яка проникла в аналоговий звуковий сигнал . Ми виробляємо оцифровку з частотою 44.1 кГц. При цьому ми припускаємо, що звук, що лежить нижче частоти буде записаний правильно (по теоремі Котельникова). Але так як перешкода лежить вище частоти 22.05 кГц, то виникне алиасинг, і перешкода «відіб'ється» в нижню частину спектра, на частоту близько 5 кГц. Якщо ми тепер спробуємо припустити отриманий цифровий сигнал через ЦАП і прослухати результат, то ми почуємо на тлі музики перешкоду на частоті 5кГц. Перешкода «перемістилася» з нечутній ультразвукової області в чутну область.
Таким чином, ми бачимо, що алиасинг - небажане явище при дискретизації сигналу. Наприклад, при оцифрування зображення алиасинг може при-вести до дефектів в зображенні, таким як «блокові», «пікселізованние» кордону або муар.
Як уникнути аліасинга? Перший спосіб - використовувати більш високу частоту дискретизації, щоб весь спектр записуваного сигналу вмістився нижче половини частоти дискретизації. Другий спосіб - штучно обмежити спектр сигналу перед оцифруванням.
Існують пристрої, звані фільтрами, які дозволяють змінювати спектр сигналу. Наприклад, фільтри низьких частот (НЧ-фільтри, low-pass fil...
