к ВМД, див. рис. 1) симетрична щодо своєї серединної поверхні. Товщина передбачається малої в порівнянні з зовнішнім радіусом. Сили, що діють на диск, рівномірно розподілені по поверхні і спрямовані перпендикулярно радіусу. Температура вважається постійною по товщині.
Напружений стан в платівці вважається двовимірним і осесиметричним, напруги рівномірно розподілені по товщині.
Рис. 1.1. Меридиональное перетин диска, симетричного щодо своєї серединної поверхні
Далі будуть розглянуті розрахунок напружено-деформованого стану круглої пластини і виведення формул для алгоритму оптимізації методом проекції градієнта.
Глава 2. Висновок основних рівнянь вигину круглих симетрично навантажених пластин
. 1 Прийняті допущення
Теорія згину пластин і оболонок заснована на деяких спрощують припущеннях [1]:
) товщина пластинки досить мала в порівнянні з іншими її розмірами, що означає де - прогин пластинки;
) гіпотеза Кірхгофа (про незмінність нормалі) свідчить, що точки, розташовані на деякій прямій, нормальної до серединної поверхні до деформації, після деформації знову утворюють пряму, нормальну до деформованої поверхні;
) нормальні напруги в перетинах паралельних серединної поверхні малі в порівнянні з вигинистою напругою, тобто відсутня натиснення між шарами пластини.
Рис. 2.1. Прогин пластини
2.2 Пластина під дією осесимметричной деформації
. 2.1 Визначення деформацій і напруг
З урахуванням зазначених припущень при осесиметричних деформації (рис. 2.1) точки пластинки отримують радіальні зміщення [6]
(2.1)
де радіальний зсув, кут повороту нормалі в точках основної поверхні.
Радіальна і окружна деформація рівні
(2.2)
або
(2.3)
де
вектори деформації основної поверхні і кривизни.
При пружному деформуванні ізотропного матеріалу маємо
(2.4)
У останній рівності вектор напружень, вектор додаткових деформацій, температурна деформація. Матриця пружності матеріалу
Як і раніше, модуль пружності, коефіцієнт Пуассона. З рівностей (2.4) і (2.3) випливає
(2.5)
де
матриця жорсткості матеріалу,
(2.6)
умовні додаткові (початкові) напруги. За фізичним змістом напруги відповідають (з протилежним знаком) додаткові деформації при повному утиску плоскої деформації елемента.
. 2.2 Визначення зусиль і моментів
Розглянемо виділену призму (рис. 2.2). Зусилля і моменти на одиницю довжини перетину будуть рівні
Рис. 2.2. Напруги, діючі в елементарній призмі
де відстані основної поверхні (площині) від торцевих поверхонь пластинки. За допомогою співвідношення (2.5) отримаємо:
(2.7)
Симетричні матриці
містять елементи
(2.8)
Температурні та додаткові зусилля
(2.9)
Для моментів матимемо
(2.10)
де матриця
містить такі елементи:
(2.11)
Температурний і додатковий моменти:
(2.12)
2.2.3 Зв'язок деформацій і напруг із заданими зусиллями і моментами
Нехай основна поверхню обрана довільним чином (зручно прийняти її збігається з серединною поверхнею). Об'єднуючи (2.7) і (2.10) за допомогою блокових векторів і матриць, запишемо
(2.13)
Далі знаходимо
(2.14)
Отримавши деформації за формулою (2.14), визначаємо напруги з (2.5).
. 2.4 Умови рівноваги елемента пластинки
Вважаючи малим відхилення серединної поверхні від площини, тобто виведемо умови рівноваги (рис.3):
отримаємо наступні ум...
