ови рівноваги [1,7]:
(2.15)
Рис. 2.3. Зусилля і моменти, прикладені до елементу пластинки
Де
- розподілені зусилля на одиницю площі серединної поверхні;- Розподілені уздовж окружності радіуса осьові і радіальні сили;- Дельта-функція. Зусилля направлено як зовнішній тиск. Рівняння (2.15) справедливі і для пластики з початковими відхиленнями. У більшості практичних завдань можна знехтувати третій членів в першому рівнянні з (2.15).
. 3 Рівняння осесимметричного вигину пластинки змінної товщини
. 3.1 У загальному випадку
Складемо рівняння рівноваги недеформованого стану (тобто у формулі (2.15) покладемо):
(2.16)
Для спрощення припустимо, що коефіцієнт Пуассона не змінюється по товщині пластинки (уздовж радіуса він може бути змінним) Основна поверхню (площину) вибирається з умови
Тоді матриці і приймуть вид
При розгляді тільки вигину () рівняння (2.10) призведе до наступних простим співвідношенням
(2.17)
(2.18)
де
Зі співвідношень (2.17) і (2.18) отримуємо
(2.19)
(2.20)
Рівняння рівноваги для моментів з (2.16) представимо у вигляді
(2.21)
Вносячи значення з (2.20) в (2.19) і (2.21), отримуємо диференціальне рівняння вигину пластинки
(2.22)
Складемо систему рівнянь. Визначимо прогин як
(2.23)
Позитивний напрямок прогину уздовж осі Z.
Зберемо рівняння (2.23), (2.22) і вираз для з (2.16) і запишемо отриману систему в матричному вигляді:
Коротко ця система представима в операторном вигляді
(2.24)
. 3.2 При постійних по товщині параметрах пружності
Нехай параметри пружності і постійні по товщині пластини (вони можуть бути змінними вздовж радіуса), тоді доцільно вибрати [7]
де - товщина пластинки. Тоді матриці пружно-геометричних характеристик можуть бути значно спрощені
Циліндричні жорсткості на розтяг і вигин:
(2.25)
Температурний і доповни?? Єльня моменти:
(2.26)
. 4 Висновок формул для обмежень
Обмеження на еквівалентні напруження з формули (1.1) представимо у вигляді
(2.27)
де - допустиме напруження на радіусі, і виражаються з рівнянь (2.5), (2.17) і (2.22):
(2.28)
При постійних по товщині параметрах пружності і при лінійному зміні температури по товщині диска [2]:
(2.29)
де - температурні деформації на поверхні диска, (2.28) прийме вигляд
(2.30)
. 5 Граничні умови
Завдання (2.24) є крайової і складається з чотирьох диференціальних рівнянь першого порядку. Отже, повинні бути задані чотирьох крайових умови: два - на внутрішньому радіусі і два - на зовнішньому [13]:
(2.31)
де; і - матриці стовпці розміром:,.
Наприклад, у книзі [1] пропонується задати дві статичних параметра на внутрішньому радіусі, а на зовнішньому радіусі - дві динамічних параметра.
У прикладах [2] граничними умовами визначається поперечна сила на обох радіусах і задаються кут повороту нормалі на внутрішньому радіусі та момент на зовнішньому.
Розглянемо окремо різні способи обпирання пластини на контурі [12]:
1. вільний край;
2. вільно опертий край;
. жорстко затиснений край.
При жорсткому закріпленні немає кутових і лінійних переміщень.
Вільне спирання (рухлива/нерухома шарнірні опори) виключає лінійне переміщення у вертикальному напрямку, але при цьому можливий поворот по опертої стороні.
Способи завдання граничних умов наведено в табл. 2.1.
<...
