тивному напрямку зі швидкістю? 2 в області II і швидкістю? 1 в області I.
Порівняємо ці класичні рухи з рухами хвильових пакетів, що знаходяться в тих же початкових умовах. Зробимо це для першого з рухів (переміщення в негативному напрямку).
Діючи відповідно нагоди а), утворюємо хвильовий пакет, аналогічний формулі (22), як суперпозицію власних функцій, відповідних власним значенням, близьким?.
Забезпечимо власну функцію типу (20) індексом? , Щоб відзначити, що вона залежить від енергії. Апріорі пакет повинен включати суперпозицію функцій і. Але щоб здійснити бажані початкові умови, пакет повинен містити тільки функції, що буде видно з подальшого. Запишемо тому
Єдина відмінність від формули (22) полягає в тому, що максимум функції f знаходиться в області енергій б), а не в області а). Еволюція хвильового пакету в часі досліджується аналогічно формулі (22) і дає наступні результати.
Ми констатуємо, що початкові умови задовольняються, а саме при t lt; lt; 0 функція? (X, t) практично дорівнює нулю в області II, а в області I помітний внесок дає тільки член, тобто ми отримуємо хвильовий пакет, центр якого х =? 1t переміщується як класична частка зі швидкістю? 1 в напрямку зменшення х і досягає початку в момент t=0. Надалі? (x, t) розділяється на два пакети: проходить хвильовий пакет raquo ;
,
центр якого x =? 1t строго слідує руху класичної частки, і відбитий хвильовий пакет
,
центр якого x =? 1t рухається так, як класична частинка, претерпевшая пружне відображення в точці х=0. Існує, таким чином, дуже важлива відмінність від класичного руху: квантова частинка має відмінну від нуля ймовірність відбитися при проходженні точки розриву потенціалу. Відзначимо тут без доказу, що ймовірність знайти частинку в відбитої хвилі дорівнює, а ймовірність знайти її в минулій хвилі дорівнює. Ці результати узгоджені, так як сума цих двох величин дорівнює одиниці
, (26)
що легко перевірити, підставляючи в це рівняння виразу (20а) і (20б).
Величина
(27)
називається коефіцієнтом проходження. Ця величина зростає з енергією і прагне до 1, коли? ??. Можна сказати, що в цій межі ми отримуємо результат класичної механіки.
Можно зауважити, що Т є симетрична функція k1 і k2.
Отже, хвиля тієї ж енергії, але розповсюджується в протилежному напрямку (від області II до області I), має однаковий коефіцієнт проходження: він не залежить від напрямку руху.
Це завдання цілком еквівалентна задачі про поширення світлового сигналу в непоглощающіх середовищі з перемінним показником заломлення. У випадку а) показник переходить від дійсного значення (середа I) до значення уявному (середа II) в точці х=0: має місце повне відображення. У випадку б) показник залишається дійсним, але значення його в середовищах I і II різні: різка зміна показника супроводжується частковим відображенням.
. 2 Нескінченно високий потенційний бар'єр
Граничним випадком попередньої задачі є задача про частинку, що зустрічає нескінченно високий потенційний бар'єр. Припустимо для визначеності, що U (x)=+?, Коли х lt; 0. Ми знаходимося в ситуації, аналогічній нагоди а), коли U2? + ?. З формул (19), (19а), (19б) в цьому граничному випадку (? 2 ??) випливає, що хвиля звертається в нуль в точці х=0.
Це загальний результат, не залежний від форми функції U (x) в області х gt; 0. Дійсно, хвильова функція в області х lt; 0 по необхідності приймає форму, її логарифмічна похідна є? 2. У межі, коли потенціал V2 прагне до нескінченності,? 2 також стає нескінченним. Значить функція повинна мати нескінченну логарифмічну похідну в точці х=0, т. Е., Іншими словами, звернутися в нуль.
Таким чином, в граничному випадку нескінченно високого потенційного бар'єру хвильова функція повинна звертатися в нуль на кордоні цього бар'єру.
. 3 Нескінченно глибока потенційна яма. Дискретний спектр
В якості другого простого прикладу ми розглянемо випадок нескінченно глибокої прямокутної потенційної ями. Значення потенціалу на дні 'ями будемо вважати початком відліку значень енергії. Ця область нульового потенціалу займає деякий ділянку осі (-L/2, + L/2); з обох сторін інтервал обмежений нескінченно високими потенційними бар'єрами (рис. 2) [2].
Завдання про власні значеннях зводиться до знаходження функції?, що звертається в нуль в точках ...
