иференціальних рівнянь
Раніше ми говорили про групи Лі і безперервних групах і простежили коротко шлях їх розвитку. Подивимося тепер на найбільш прості і перші застосування цих груп. p> Нагадаємо для початку, що групи Лі з'явилися наприкінці XIX століття. Близько 1873 Норвезька математик Софус Лі ввів новий вид груп, названий їм В«безперервні групи перетвореньВ». З кожним диференціальним рівнянням він пов'язав таку групу перетворень, яка залишає його незмінним. p> Софус Лі розповсюдив методи теорії груп на проблему інтегрування диференціальних рівнянь.
Групи Лі складалися з перетворень виду: x Г f (x, a1, ..., an), визначених параметрами. Наприклад, для обертання площини параметрами є кути повороту, для простору-так звані Ейлерови кути. Множення двох перетворень, які є елементами групи, дає перетворення. Параметри останнього пов'язані з параметрами співмножників безперервними функціями Fi = Fi (a1, .., an; b1, .., bn). p> Групи, визначені таким чином, отримали назву груп Лі. Структура груп Лі виявилася пов'язаною з питанням про інтегровності диференціальних рівнянь в квадратурі. Відповідні структурні властивості груп Лі отримали, за аналогією з теорією Галуа, інтерпретацію властивостей разрешимости. С. Лі класифікував всілякі групи перетворень на площині і побудував таблицю нормальних типів диференціальних рівнянь із зазначенням, вирішуються вони в квадратурі. Питання, чи витікає з безперервності функцій Fi існування таких параметрів у групі, для яких функції Fi аналітичне, був включений Д. Гильбертом до числа його знаменитих проблем і в даний час вирішено позитивно. br/>
5.6 Групи та геометрія
Правильні багатогранники показують, що геометрична симетрія - фундаментально теоретико-групове поняття. У більш загальному сенсі, багато понять В«еквівалентностіВ» в геометрії можна пояснити як властивості, які зберігаються певними групами перетворень. Однак, необхідний був певний перегляд класичних понять, перш ніж геометрія могла отримати користь з теоретико-групових ідей. p> Найстаріше поняття геометричної еквівалентності - це поняття конгруентності. Греки розуміли, що фігури F1 і F2 конгруентний, якщо там рух твердого тіла F1, яке виносило його в F2. Недолік цієї ідеї полягав в тому, що рух мало значення тільки для окремої фігури. В«ТвірВ» рухів різних фігур не мало значення, і, отже, груп рухів не мали. p> Крок, який проклав шлях до запровадження теорії груп у геометрію, полягав у поширенні Мебіусом (1827) ідеї руху на всю площину; він надав сенс твору рухів. Фактично, Мебіус розглянув всі безперервні перетворення площини, які зберігають прямоту ліній і приділив окрему увагу кільком підкласам цих перетворень: тим, які зберігають довжину (конгруентність), виду (подобам) і паралелізму (аффинную). Він показав, що самі загальні безперервні перетворення, які зберігають прямоту, - якраз проективні перетворення. Таким чином, одним ударом Мебіус визначив поняття конгруентності, поді...
