бності, афінності і проективної еквівалентності як властивості, які інваріантні під дією певних класів перетворень площині. Те, що розглянутими класами були групи, стало очевидно, як тільки визнали поняття групи. Саме ознака повільності, з якою було визнано поняття групи, зумовило переформулювання ідей Мебіуса в поняттях груп тільки у Клейна (1872). p> Формулювання Клейна отримала популярність як Ерлангенськая програма, тому що він оголосив про неї в Ерлангенском університеті. Його ідея в тому, щоб зв'язати кожну геометрію з групою безперервних перетворень, які зберігають її характеристичні властивості. Наприклад, евклідова геометрія площині асоціюється з групою перетворень площини, які зберігають евклідова відстань між точками. Проективна геометрія площині асоціюється з групою проектних перетворень. Гіперболічна геометрія площині, беручи до уваги проективну модель, може асоціюватися з групою проектних перетворень, які відображають одиничний коло на себе. Концепція Клейна являє собою по суті вчення про інваріанта. p> Важливий вплив на Ерлангенського програму, безсумнівно, справив Келі. Один із прикладів групи, наведених Келі, дозволив Клейну усвідомити зв'язок геометрій і груп дуже чітко. p> Коли геометрія була заново сформульована таким чином, певні геометричні питання стали питаннями про групи. Правильна мозаїка, наприклад, відповідає підгрупі повної групи рухів, що складається з тих рухів, які відображають мозаїку на себе. У разі гіперболічної геометрії, де завдання класифікації мозаїк представляє велику складність, взаємозв'язок між геометрією та теоретико-груповими ідеями виявилася дуже плідною. У роботі Пуанкаре (1882,1883) і Клейна (1882) теорія груп стала каталізатором нового синтезу геометричних, топологічних і комбінаторних ідей. p> Відзначимо тут факт, що стосується розвитку безперервних груп. Раніше ми розглянули групи Лі та їх застосування, а зараз побачили що безперервні групи отримали численні додатки в галузі геометрії. Відкриття настільки різноманітних додатків теорії безперервних груп було причиною введення більш загального, абстрактного визначення безперервної групи. У нього входить вимога завдання граничного переходу, узгодженого з групою операцій. Незабаром вдалося показати (це зробив Ван Данциг), що це визначення більш загальне, ніж визначення Лі, і що існують безперервні групи, які не є групами Лі. (Ми побіжно згадували цей факт у розділі, присвяченому виникненню груп Лі) Оскільки при цьому визначенні відволікаються від того, що елементи групи є перетвореннями, то приходять по суті до топологічної групи і до топологічному простору. У зв'язку з цим створилася нагальна необхідність об'єднати окремі топологічні факти в єдину теорію. p> Це було пророблено А. Пуанкаре в його знаменитому мемуарі В«Analysis situsВ» (1895) і в п'яти додатках до нього (1899 - 1911).
5.7 Групи та теорія сигналів
Одним з перспективних напрямків у розвитку теорії сигналів, є напрям,...
