ні побудови в просторі більш важкі, ніж геометричні побудови на площині. Стереометричні задачі на побудову вирішуються двома різними методами: в уяві і за допомогою виконуваних креслярськими інструментами побудов на проекційному кресленні, розгортці геометричного тіла або на якому або його перетині.
У першому випадку ми обмежуємося уявним побудовою прямих, площин, сфер, подумки визначаємо їх взаємне розташування і знаходимо точки і лінії їх перетину, тому насправді не існує реальних інструментів, за допомогою яких можна було б будувати сфери, площини і прямі в просторі.
Геометричні побудови на проекційному кресленні володіють «ефективністю», тобто завдання з різними просторовими фігурами вирішуються на такому кресленні майже так само, як це мало б здійснюватися в самому просторі з виконанням необхідних операцій і фактичним побудовою шуканих елементів. У багатьох випадках при цьому креслення повинен бути повним і метричним.
Будь-яка задача на площині в стереометрії може бути вирішена на проекційному кресленні, але на початку вона повинна бути вирішена мислення, тобто вирішального завдання повинно бути ясно, що і як треба зробити, які геометрііческіе образи використовувати, які операції необхідно проробити, яких перетворень слід піддати фігуру, щоб вирішити завдання, а потім вже це рішення перенести на креслення.
При вирішенні планіметричних задач на побудову користуються схемою рішення складаються з чотирьох етапів:
) аналізу;
) побудови;
) докази;
) дослідження.
Цією ж схемою можна дотримуватися і при вирішенні стереометричних задач на побудову.
Розглянемо цілі кожного етапу вище зазначеної системи.
1. Аналіз. Це найважливіша частина рішення, тому метою її є розшукування мети побудов, здатних привести від даної фігури до шуканої.
Спочатку будуємо шукану фігуру довільно, а дану - в тому відношенні до шуканої, яке зазначено в задачі. Після цього шукаємо ланцюг побудов, що призводять від даної фігури до шуканої. Для цього, насамперед дивимося, чи не можна, користуючись уже відомими нам рішеннями більш простих завдань побудувати по даній фігурі хоча б частину шуканої їм, взагалі, таку фігуру, від якої легше перейти до шуканої. Зазначеним способом ми намагаємося звести вирішення даної задачі до вирішення більш простих. Якщо цього зробити не вдається або ж вирішення завдань, до яких ми звели дану задачу, нам невідомо, то можна звернутися до властивостей різних геометричних перетворень - стереометрії, гомотетии і т.д., застосування цих властивостей називається, методом симетрії, методом гомотетии і т.буд. (методи вирішення геометричних задач на побудову розглянемо нижче).
Таким чином, аналіз на побудову включає наступні етапи процесу розв'язання математичних задач: «аналіз завдання» і «пошук способу рішення».
Зауважимо так само, що для аналізу вибирається фігура F можливо більш загального вигляду. Внаслідок цього знайдене побудова може виявитися непридатним при більш приватному вигляді фігури F , але це питання зручніше розглядати при дослідженні завдання. Однак, сказане означає, що в ряді випадків аналіз (пошук рішення) містить і етап - «дослідження задачі» або «аналіз рішення».
2. Побудова. У цій частині результати аналізу наводяться в порядок, тобто вказують послідовність голосних операцій, які необхідно виконати для побудови шуканої фігури. Цього буде достатньо, якщо завдання вирішується в уяві. Якщо вона вирішується на проекційному кресленні, то рішення має бути оформлене графічно за допомогою креслярських інструментів.
Отже, етап «побудова» при вирішенні геометричної задачі на побудову включає етапи: «план рішення» і «здійснення рішення» (якщо завдання вирішується на проекційному кресленні) процесу вирішення математичних завдань.
3. Доказ. З міркувань, які наводяться при аналізі, випливає, що шукана фігура, якщо вона має досить загальний вигляд, може бути отримана з даної, пов'язаної з нею умовою завдання, за допомогою знайденого побудови. Але, в деяких випадках, одне і теж побудова може призвести до кількох фігурам F . У більшості випадків всі ці фігури задовольняють умові завдання. Але можливі й винятки внаслідок того, що при аналізі умову задачі береться до уваги не повністю. Таким чином, довести - це означає перевірити, що знайдене побудова призводить тільки до фігур, що задовольняє умові задачі. У тому випадку, коли побудова призводить тільки до одній фігурі F , необхідність в доказі відпадає.
Етапу...
