ральне число), випливає, що воно правдиве й для наступного значення n=k + 1.
Цей принцип називається принципом математичної індукції. Зазвичай він вибирається в якості однієї з аксіом, що визначають натуральний ряд чисел, і, отже, приймати без доказу.
Під методом математичної індукції розуміють наступний спосіб докази. Якщо потрібно довести істинність пропозиції А (n) для всіх натуральних n, то, по-перше, слід перевірити істинність висловлювання А (1) і, по-друге, припустивши істинність висловлювання А (k), спробувати довести, що висловлювання А (k +1) істинно. Якщо це вдається довести, причому доказ залишається справедливим для кожного натурального значення k, то відповідно до принципу математичної індукції пропозицію А (n) визнається істинним для всіх значень n.
Метод математичної індукції широко застосовується при доказі теорем, тотожностей, нерівностей, при вирішенні завдань на подільність, при вирішенні деяких геометричних і багатьох інших завдань.
Індукція через просте перерахування (популярна). Індукція через аналіз і відбір фактів. Умови підвищення ступеня ймовірності цих висновків.
Індукція через просте перерахування являє собою наступний принцип: Якщо дано деяке число n випадків а, які виявилися p, і якщо при цьому не виявилося жодного а, яке не було б p, тоді два твердження:(а) наступне а буде p і (б) всі а суть p - Проа мають ймовірність, яка підвищується в міру збільшення n і прагне до достовірності як до межі, у міру того як n прямує до нескінченності .
Я буду називати (а) приватної індукцією і (б) загальної індукцією raquo ;. Таким чином, (а) затверджує на підставі нашого знання про смертність людей в минулому, що, ймовірно, пан такий-то помре, тоді як (6) стверджує, що, ймовірно, всі люди смертні.
Перш ніж перейти до більш важким або сумнівним питань, сформулюємо деякі досить важливі питання, які можуть бути вирішені без особливих труднощів. Ці питання наступні:
. Якщо індукція повинна служити цілям, яким, як ми думаємо, вона служить в науці, то ймовірність повинна бути так інтерпретована, що затвердження ймовірності стверджує факт; це вимагає, щоб пов'язаний з цим рід ймовірності був вивідним з істинності і хибності, в не був би невизначеним, а це в свою чергу робить звичайно-частотну інтерпретацію більш-менш неминучою.
. Індукція, мабуть, недійсна в застосуванні до ряду натуральних чисел.
. Індукція недійсна в якості логічного принципу.
. Індукція вимагає, щоб випадки, на яких ока грунтується, були дані у вигляді послідовності, а не тільки у вигляді класу.
. Будь-яке обмеження, яке може виявитися необхідним, щоб зробити принцип дієвим, має бути сформульовано в термінах інтенсивності, за допомогою якої визначаються класи а і p, а не в термінах екстенсивності.
. Якщо число речей у всесвіті звичайно або якщо який-небудь обмежений клас є єдиним, що належать до індукції, тоді індукція для достатнього числа n стає доказової; але на практиці це не має значення, бо тоді стосуються справи n були б більшими за кількістю, ніж це може коли-небудь бути в будь-якому дійсному дослідженні. Тепер переходимо до доказу цих пропозицій.
. Якщо ймовірність береться як невизначена, то ми повинні припустити, що неймовірне може статися і що, отже, пропозиція ймовірності нічого не говорить нам про хід речей в природі. Якщо прийняти цей погляд, то індуктивний принцип може бути правильним, але всякий висновок, зроблений відповідно до нього, може все ж виявитися помилковим; це неймовірно, але не неможливо. Отже, світ, в якому індукція виявляється істинної, емпірично не відрізнити від світу, в якому вона виявляється помилковою. З цього випливає, що ніколи не може бути будь-якого свідоцтва на користь або проти цього принципу і що він не може допомогти нам зробити висновок про те, що станеться. Якщо цей принцип повинен служити своєї мети, то ми повинні інтерпретувати слово ймовірний як позначає те, що зазвичай дійсно відбувається raquo ;; це означає, що ми повинні інтерпретувати ймовірність як частоту.
. Індукція в арифметиці. У арифметиці легко дати приклади таких індукцій, які ведуть до істинним висновкам, і таких, які ведуть до хибним. Джевонс наводить два приклади:
, 15, 35, 45, 65, 95
, 17, 37, 47, 67, 97
У першому рядку кожне число закінчується на 5 і ділиться на 5; це може призвести до припущення, що кожне число, закінчується на 5, ділиться на 5, що є істинним. У другому ряду кожне число закінчується на 7 і є простим; це могло б привести до припущення, що кожне число, закінчується на 7, є простим, що було ...
