б хибним.
Або візьмемо наступний приклад: Кожне парне ціле число є сумою двох простих raquo ;. Це істинно в кожному випадку, в якому це було перевірено, а число таких випадків величезна. Проте залишається обґрунтований сумнів щодо того, чи є це завжди істинним.
В якості вражаючого прикладу недостатності індукції в арифметиці візьмемо наступне: нехай Пі (х)=числу простих чисел більше або дорівнює х
Відомо, що коли х - велике, Пі (х) і li (х) майже рівні. Також відомо, що для кожного відомого простого числа
Пі (х) lt; li (x)
Гаусс припустив, що це нерівність має місце завжди. Це було перевірено для всіх простих числі до 107 і для дуже багатьох понад цього, і не було виявлено жодного окремого випадку хибності цього припущення. Проте Літлвуд довів у 1912 році, що мається нескінченне число простих чисел, для яких це припущення виявляється хибним, а Скьюза (Skewes) 'довів, що воно помилково для деяких чисел менших ніж 34,10,10
Видно, що хоча припущення Гауса і виявилося неправдивим, все ж воно мало в свою користь набагато кращу індуктивне свідоцтво, ніж якесь існує на користь наших навіть найбільш твердо встановлених емпіричних узагальнень.
Даже не вдаючись так глибоко в теорію чисел, легко сконструювати помилкові індукції в арифметиці в будь-якому потрібній кількості. Наприклад, жодне число, менше ніж n, не ділиться на n. Ми можемо зробити n як завгодно великим, і таким чином, отримати скільки завгодно свідчень на користь узагальнення: 'Жодне число не ділиться на n" .
Ясно, що будь n цілих чисел повинні володіти багатьма загальними властивостями, якими більшість цілих чисел не володіє. Для початку, якщо m є найбільше з них, то всі вони володіють нескінченно рідкісним властивістю бути не великими ніж m. Отже, ні загальна, ні приватна індукції не дієві в застосуванні до цілих числах, якщо властивість, до якого індукція повинна бути застосована, не є як-небудь обмеженим. Я не знаю, як сформулювати таке обмеження, і все ж будь-який хороший математик відносно властивості, по видимості допускає дієву індукцію, буде мати почуття, аналогічне буденній здоровому глузду.
Якщо ви помітили, що 1 + 3=22, 1 + 3 + 5=З2, 1 + + 3 + 5 + 7=42, то ви будете схильні припустити, що 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)=N2, і легко може бути доведено, що це припущення правильно. Подібним же чином, якщо ви помітили, що 13 + 23=З2, 13 + 23 + З3=б2, 13 + 23 + З3 + 43=102, то ви можете припустити, що сума перших я кубів завжди дорівнює якого-небудь числа в квадраті, і це знову-таки легко довести. Математична інтуїція жодним чином не є безпомилковою щодо таких індукцій, але у хороших математиків вона, мабуть, частіше буває правильною, ніж помилковою. Я не знаю, як ясно висловити те, що керує математичною інтуїцією в таких випадках, А поки ми можемо тільки сказати, що ніяке відоме обмеження не зробить індукцію дієвою в застосуванні до натуральним числам.
. Індукція не дієва в якості логічного принципу. Ясно, що якщо ми можемо вибрати наш клас бета за бажанням, то ми легко можемо переконатися, що наша індукція буде помилковою. Нехай а1, а2, ..., an" буде до цього часу наблюденнимі членами класу а, всі члени якого виявилися членами класу p, і нехай an + 1) буде наступним членом класу альфа. Оскільки справа стосується чистої логіки, клас бета може складатися тільки з членів а1, а2, ..., an" чи може складатися з усього, що є у всесвіті, крім an + 1; чи може складатися з будь-якого класу, проміжного для цих двох. У будь-якому з цих випадків індукція відносно an + 1) буде помилковою.
Ясно (як може сказати возражающий), що клас бета не повинен бути тим, що можна було б назвати штучним класом, тобто класом, частково визначається через обсяг. У випадках певного роду, спостережуваних в індуктивному виведенні, p завжди є класом, який відомий за змістом, а не за обсягом, крім випадків, що стосуються спостережених членів а1, a2, ..., an і таких інших членів класу p, але не членів класу альфа, які могли спостерігатися.
Дуже легко побудувати явно недієві індукції. Сільський житель міг би сказати: всю худобу, який я коли-небудь бачив знаходиться в Херефордшир; отже, ймовірно, всю худобу знаходиться в цій частині країни. Або ми могли б стверджувати: жодна людина, що живе зараз, не помер, отже, ймовірно, все люди, що живуть зараз, безсмертні. Помилки в таких індукціях дуже помітні, але вони не були б помилками, якби індукція була чисто логічним принципом.
Ясно тому, що для того, щоб індукція була явно помилковою, клас p повинен мати певні характерні ознаки або повинен якимось особливим чином ставитися до класу а. Я не стверджую, що з цими обмеженнями цей принцип повинен бути істинним; я с...
