овороту і коефіцієнт спотворення масштабу в точці при відображенні:
,.
Рішення.
При відображенні за допомогою функції кут повороту є, а коефіцієнт спотворення масштабу в точці дорівнює
Знаходимо
У точці маємо
(розтягнення).
Відповідь: (розтягнення).
Приклад 4. Знайти точки площини, в яких дорівнює 1 коефіцієнт спотворення масштабу при відображенні:
.
Рішення.
Коефіцієнт спотворення масштабу в точці дорівнює
.
Знаходимо похідну
.
За умовою коефіцієнт спотворення масштабу повинен бути рівний 1.
Отже,
Відповідь:.
Приклад 5. Знайти точки площини, в яких дорівнює 1 коефіцієнт спотворення масштабу при відображенні:
.
Рішення.
Коефіцієнт спотворення масштабу в точці дорівнює
.
Знаходимо похідну
.
За умовою коефіцієнт спотворення масштабу повинен бути рівний 1.
Отже,
.
Відповідь:.
Приклад 6. Знайти точки площини, в яких дорівнює нулю кут повороту при відображенні:
.
Рішення.
При відображенні за допомогою функції кут повороту є
де.
Знаходимо
Так як ні при одному значенні z, крім z=0, то заданий відображенні конформно в площині.
Відповідь: Rez=0.
Приклад 7. Знайти точки площини, в яких дорівнює нулю кут повороту при відображенні:
.
Рішення.
При відображенні за допомогою функції кут повороту є
де.
Знаходимо
Підставляємо
.
Відповідь:.
Приклад 8. Показати, що кут між прямими і не зміниться при відображенні.
Рішення.
Знаходимо
Таким чином,
З отриманих рівнянь і рівняння виключаємо у:
Тепер вирішуємо для прямої:
(5)
(6)
Підставляємо в рівняння (5) і (6) і отримуємо
,
де будь-яке.
Проілюструємо отримане рішення на малюнку 2, б.
Малюнок 2 - Конформне відображення прямих і функції
Тоді
Відповідь:,.
2.2 Лінійна функція
Знайти функцію, яка буде показувати трикутник з вершинами (0; 1; i) на подібний йому трикутник з вершинами (0; 2; 1 + i) [35, c. 9].
Рішення. Задані трикутники подібні, тому завдання може бути вирішена за допомогою лінійного перетворення, де - довільні комплексні числа
Перший спосіб.
Малюнок 3 - Подібні трикутники
З малюнка 3 випливає, що трикутник OAB переходить в трикутник OCD за допомогою наступних перетворень:
1) поворот площини z навколо початку координат на кут з розтягуванням враз, що відповідає перетворенню
.
2) паралельний перенос площині, смещающий точку О і точку D на вектор b=1 + i, тобто перетворення.
Остаточно отримуємо
.
Другий спосіб.
За умовою задачі точки повинні перейти в точки соответствен?? о.
З
слід
.
2.3 Конформне відображення ступеневою функцією
Степенева функція
(7)
належить до неоднолістним (багатолистого) або не взаємних однозначним функціям.
Знайдемо область однолістной функції (7), однозначність, оскільки зворотна функція
(8)
має n різних значень в будь-якій фіксованій точці.
однолістной порушується там, де одному значенню функції відповідають декілька значень аргументу. Наприклад, якщо
.
Звідси, вважаючи, на підставі правила обчислення кореня знаходимо, що
. (9)
При і відповідно отримуємо
,
т.е. однолістной порушується в точці, що має той же модуль, що і, але аргумент, що відрізняється на (точки A, B на малюнку 4, а).
Отже, однолістной має місце для всіх точок таких, що, тобто для всіх точок, що лежать всередині кута з центром в точці О розчину (малюнок 4, а).
Якщо покласти,, то зі співвідношення (7) маємо
, (10)
Малюнок 4 - Ілюстрація неоднолістності статечної функції
звідки видно, що нутрощі кута відповідає вся площину з розрізом по дійсній півосі (при русі точки вздовж дуги АВ радіуса кут змінюється від 0 до...
