З.
Канторович Л.В. розробив метод послідовних наближень для конформного відображення кола на одинзв'язного область.
Ведерников В.В. застосував метод конформних відображень при розрахунку завдань фільтрації.
Вже більше двох століть триває розвиток і використання методу конформних відображень, що доводить неослабну актуальність цього методу.
Метою дипломної роботи є вивчення і дослідження методу конформних відображень в механіці суцільних середовищ.
Дипломна робота складається з чотирьох глав. У першому розділі розглядаються основні принципи конформних відображень, дається короткий теоретичне введення.
У другому розділі розглядаються конкретні класичні приклади застосування конформних відображень до різних функцій комплексного змінного.
У третьому розділі розглядаються численні приклади використання методу конформних відображень в механіці суцільних середовищ.
У четвертому розділі розглянуті сучасні приклади використання методу конформних відображень в механіці суцільних середовищ.
1. ЗАГАЛЬНІ ПРИНЦИПИ ТЕОРІЇ конформного відображення
. 1 Поняття конформного відображення і його основні властивості
Взаємно однозначне відображення, що володіє властивістю збереження кутів за величиною і напрямком і властивістю сталості розтягувань малих околиць відображених точок, називається конформним відображенням.
Для забезпечення взаємної однозначності відображення виділяють області однолістной функції. Область D називається областю однолістной функції f (z), якщо.
Основні властивості конформних відображень:
) сталість розтягнень. Лінійне в точці однаково для всіх кривих, що проходять через цю точку, і одно;
) збереження кутів. Всі криві в точці повертаються на однаковий кут, рівний.
Функція відображає точки z- площині (або ріманової поверхні). У кожній точці z, такий що f (z) аналитична (тобто однозначно визначена і диференційована в деякій околиці цієї точки) і, відображення конформно, тобто кут між двома кривими, що проходять через точку z, переходить у рівний по величині і направлено відліку кут між двома відповідними кривими в площині.
Нескінченно малий трикутник близько такої точки z відображається в подібний нескінченно малий трикутник - площині; кожна сторона трикутника розтягується в співвідношенні і повертається на кут. Коефіцієнт спотворення (локальне ставлення малих площ) при відображенні визначається якобіаном відображення
в кожній точці z, де відображення конформно.
Конформне відображення перетворює лінії в сімейство ортогональних траєкторій в w- площині.
Область z- площині, що відображається на всю w-площину функцією f (z), називається фундаментальною областю функції f (z).
Точки, де, називаються критичними точками відображення.
Відображення, яке зберігає величину, але не напрямок відліку кута між двома кривими, називається ізогональним або конформним відображенням другого роду.
Відображення конформно в нескінченно віддаленій точці, якщо функція конформно відображає початок в - площину.
Дві криві перетинаються під кутом в точці, якщо перетворення переводить їх у дві криві, пересічні під кутом в точці.
Аналогічно, конформно відображає точку конформно в точку [31, с. 274].
. Класичний приклад конформного відображення
2.1 Найпростіші приклади
Приклад 1. За допомогою функції відобразити на площину пряму.
Рішення.
Знаходимо
Перетворимо прямую.Получаем.
Таким чином,
,
Підставляємо в отримані рівняння:
і отримуємо
(1)
(2)
З отриманих рівнянь виключаємо х.
З рівняння (1) знаходимо х і отримуємо
(3)
Підставляємо (3) в рівняння (2):
отримуємо
(4)
Зобразимо отримані лінії на малюнку 1.
а) б)
Малюнок 1 Конформне відображення прямою функцією
Відповідь: Отже, пряма, розташована в площині хОу, конформно відобразилася в криву (параболу) розташовану в площині
Приклад 2. Знайти кут повороту і коефіцієнт спотворення масштабу в точці при відображенні:
,.
Рішення.
При відображенні за допомогою функції кут повороту є, а коефіцієнт спотворення масштабу в точці дорівнює.
Знаходимо
У точці маємо
(стиснення).
Відповідь: (стиснення).
Приклад 3. Знайти кут п...
