, і точка здійснює повний обхід навколо початку координат уздовж окружності радіуса, оскільки кут змінюється від 0 до ).
На сторонах кута АОВ однолістной порушується, і точки А, В з однаковим модулем перейдуть в одну і ту ж точку, що лежить на дійсній осі (точки на малюнку 4 б). Якщо ж у площині провести розріз уздовж позитивної частини дійсної осі (малюнок 4 в), то, оскільки на верхньому березі розрізу, а на нижньому, перетворення (9) стане однолістной і на сторонах кута АОВ (точки перестають збігатися). Отже, перетворення (7) встановлює взаємно однозначну відповідність між начинкою розчину (включаючи боку) і всією площиною, розрізаної уздовж позитивної частини дійсної осі.
Але функція визначена і поза кута АОВ, причому наступного кутку ВОС з тим же розчином знову відповідає вся площину (за формулами (10)), яка, однак, зайнята образами точок кута АОВ. Щоб подолати це утруднення, поступимо таким чином. Візьмемо примірників площин, пронумеруємо їх і разрежем кожен екземпляр уздовж позитивної частини дійсної осі. Далі склеим нижній берег розрізу на площині 2 з верхнім берегом розрізу на площині 3 і т.д. і, нарешті, нижній берег розрізу на площині склеим з верхнім берегом розрізу площини 1. Тепер кожному з кутів розчину (BOC, ...) відповідає свій лист площині, розрізаної уздовж півосі. У результаті перетворення при будь-якому стане однолістной на побудованій n-листная поверхні, званої ріманової поверхнею функції.
Звернемо тепер увагу, що функція (7) відображає внутрішність кута на всю площину з розрізом, (на кут), тобто збільшує кут з вершиною в нулі в раз. Отже, перетворення (7) не конформно в нулі. Це можна було очікувати, оскільки похідна при і.
Перетворення (7) дозволяє відображати кути різного розчину і різним чином розташованого на площині один на одного.
Проілюструємо це на прикладі, в якому вимагається конформно відобразити кут розчину з вершиною в точці на верхню полуплоскость. Послідовність вирішення цього завдання показана на малюнку 5, а) г).
З малюнка випливає, що функція, що реалізує необхідну відображення, має наступний вигляд:
. (11)
а) б) в) г)
Малюнок 5 Послідовність конформного відображення
2.4 Дробово-лінійна функція
Знайти функцію, конформно отображающую одиничний коло сам на себе так, щоб задана внутрішня точка перейшла в центр кола.
Для вирішення завдання скористаємося дрібно-лінійною функцією. При цьому точка і точка, симетрична їй щодо об'єму, перейдуть у точки, симетричні щодо кола. Але оскільки точка, симетрична центру кола, є нескінченно віддалена точка, точка повинна перейти в точку, то точка повинна перейти в точку. Отже, шукана дробово-лінійна функція має вигляд:
. (12)
Так як, то (12) можна переписати у вигляді
(13)
Для того щоб при відображенні (13) окружність перейшла також в окружність одиничного радіуса, повинна виконуватися умова
.
Звідси, де -довільний дійсно число, і рішення цього завдання отримуємо у вигляді
.
Отримано рішення з точністю до одного довільного параметра, який визначає поворот колу навколо центру. Завдання значення аргументу похідної функції в точці повністю визначає функцію [35, с. 17].
3. МЕТОД конформного відображення У механіки суцільних середовищ
3.1 Гідродинамічна аналогія
Розглянемо усталене плоскопараллельное протягом рідини. Це означає, що вектори швидкості цієї течії не залежать від часу і однакові у всіх точках кожного перпендикуляра до деякій площині, яку ми приймемо за площину комплексного змінного, малюнок 6.
Малюнок 6 - Пласкопаралельні протягом рідини
Таким чином, усталене протягом повністю описується плоским векторним полем швидкостей, тому для плоскопаралельних течій можна використовувати математичний апарат функції комплексного змінного, тоді функцію швидкості можна записати в комплексному вигляді
. (14)
Припустимо, що в околиці деякої точки функції і мають безперервними приватними похідними. Крім того, будемо вважати, що в цій околиці векторне поле (14) безвіхревое, т.е.
, (15)
і соленоідальной, т.е.
, (16)
(рівності (15) і (16) одночасно справедливі для всіх точок околиці).
З умови (15) випливає, що в околиці точки диференціальна форма є повним диференціалом деякої функції, яку називають потенційної функцією поля. Таким чином, маємо
(17)
або, у векторній запису,.
З умови соленоідальной (16) випливає, що і форма є у випадку нестисливої ??рідини повним диференціалом деякої функції так що маємо
,. (18)
На лінії рівня...
