ажити, що R/S-аналіз - це виключно стійкий метод. У його основі немає припущення про гауссовского розподілі. Знайдене значення не є доказом того, що в наявності гауссовское випадкове блукання, воно доводить тільки те, що це процес, який відрізняється короткою пам'яттю. Іншими словами, будь-яка незалежна система, гауссовская або яка-небудь інша, може продукувати.
Малюнок 1.2 - R/S-аналіз: випадкові гаусові числа. Фактичне значення, оцінка
На малюнку 1.3 показана аналогічна крива для - значення, часто спостережуваного в природних процесах. Ці дані були отримані апроксимацією узагальненого броунівського руху. Такий ряд отриманий, з урахуванням пам'яті про 200 спостереженнях. Дані імітують природний цикл з 200 спостережень.
Малюнок 1.3 - R/S-аналіз: фрактальное броунівський рух. Фактичне значення, оцінка
На малюнку 1.4 показана аналогічна крива, побудована для. Дійсна в цьому випадку виявилася трохи нижче, але в допустимих межах.
Малюнок 1.4 - R/S-аналіз: фрактальное броунівський рух. Фактичне значення, оцінка
Завдяки своїй чудовій стійкості, показник Херста широко застосовується в аналізі часових рядів складних систем. Він містить мінімум припущень про досліджуваної системі і дозволяє ввести класифікацію часових рядів безвідносно до їхнього вигляду розподілу.
Виділяють три інтервалу значень показника Херста:
а) При. Даний діапазон відповідає антіперсістентним (ергодичним) рядах. Такий тип системи часто називають - «повернення до середнього». Якщо система демонструє зростання в попередній період, то, швидше за все, в наступному періоді почнеться спад. І навпаки, якщо йшло зниження, то ймовірний близький підйом. Стійкість такого антіперсістентного поведінки залежить від того, наскільки близько до нуля. Чим ближче його значення до нуля, тим ближче до, або негативної кореляції. Такий ряд більш мінливий, або волатильним, ніж ряд випадковий.
б) При. Вказує на випадковий ряд (броунівський рух, випадкові блукання). Події некорреліровани між собою (), справжнє не впливає на майбутнє. Функція щільності ймовірності може бути нормальною кривою, однак, це не обов'язкова умова.
в при . Значення показника, що належать даному діапазону, характерні для персистентних або трендоустойчівих рядів. Вони характеризуються наявністю довготривалих кореляцій між поточними подіями і подіями майбутніми. Якщо ряд зростає (зменшується) в попередній період, то імовірно, що він буде зберігати цю тенденцію якийсь час у майбутньому. Сила персистентності, збільшується при наближенні до 1, або 100% кореляції (). Чим ближче до 0.5, тим більше зашумлен ряд і тим менш виражений його тренд. Персистентний часовий ряд є фракталом, оскільки може бути описаний як узагальнене броунівський рух або зміщені випадкові блукання.
Персистентні тимчасові ряди являють собою найбільш цікавий клас, так як виявилося, що вони не тільки в достатку виявляються в природі, - це відкриття належить Хьорсту, - але й властиві ринків капіталу. Фрактальна розмірність тимчасового ряду, або накопичених змін при випадковому блуканні, дорівнює. Фрактальна розмірність кривої лінії дорівнює, а фрактальна розмірність геометричної площини дорівнює. Таким чином, фрактальна розмірність випадкового блукання лежить між кривою лінією і площиною. Показник Херста може бути перетворений у фрактальну розмірність за допомогою наступної формули:. Таким чином, якщо, то. Обидві величини характеризують незалежну випадкову систему. Величина відповідатиме фрактальної розмірності, ближчою до кривої лінії. Це персистентний часовий ряд, що дає більше гладку, менш зазубрену лінію, ніж випадкове блукання. Антіперсістентная величина дає відповідно більш високу фрактальну розмірність і більше переривчасту лінію, ніж випадкове блукання, і, отже, характеризує систему, більш піддану змінам. Метод нормованого розмаху полягає в наступному: а) Нехай маємо часовий ряд, що складається з цін закриття фондового індексу, довжини М . Перетворимо його в тимчасовій ряд довжини з логарифмічних відносин.
б) Розділимо період часу N на А суміжних подпериодов довжини n , так, що. При цьому N , A і n підбираються таким чином, щоб було цілочисловим значенням. Пометим кожен подпериод I a з урахуванням того що. Введемо подвійний індекс - кожен елемент N i в I a переобозначив N k, a ,. Для кожного I a довжини n середнє по інтервалу значення визначається як.
в) Знаходимо елементи часового ряду накопичених відхилень ( X k, a ) від середнього значення для кожного підперіоди I a :;
г) Діапазон визначається як максимальне значення за вирахуванням мінімального значення X k, a в межах кожного підперіоди I ...
