от, «фракталом називається структура, що складається з частин, які в якомусь сенсі подібні цілого» [3]. Фрактал - це нескінченно самоподібна геометрична фігура, кожен фрагмент якої повторюється при зменшенні масштабу (Малюнок 1.1). Масштабна інваріантність, спостережувана під фракталах, може бути або точної, або наближеною.
Малюнок 1.1 - Самоподібність фракталів на прикладі множини Мандельброта
З математичної точки зору фрактал - це, насамперед, безліч дробової розмірності [3]. Народження фрактальної геометрії прийнято пов'язувати з виходом в 1977 році книги Мандельброта «Фрактальна геометрія природи», в якій автор зібрав і систематизував наукові результати вчених, які працювали в період 1875-1925 рр. в тій же області (Пуанкаре, Фату, Жюліа, Кантор, Хаусдорф).
Фрактальна геометрія - це революція в математиці і математичному описі природи. Ось як про це пише сам першовідкривач фрактальної геометрії Б.Мандельброт: «Чому геометрію часто називають холодною і сухою? Одна з причин полягає в її нездатності описати форму хмари, гори, дерева або берега моря. Хмари - це не сфери, гори - це не конуси, лінії берега - це не кола, і кора не є гладкою, і блискавка не поширюється по прямій. Природа демонструє нам не просто вищий ступінь, а зовсім інший рівень складності »[3].
Мандельброт показав, що геометрія реального миру не евклидова, а фрактальна. «Правильні» евклідові об'єкти є математичною абстракцією, природа ж воліє негладкі, шорсткі, зазубрені форми. До евклідової геометрії додалася нова геометрія, відмінність якої полягає в тому, що вона не оперує гладкими об'єктами і звичними формами типу трикутника, квадрата, кола, кулі і т.п. Фрактали з великою точністю описують багато фізичні явища і природні утворення. Сніжинку, морського коника, гілки дерев, розряд блискавки і гірські масиви можна намалювати, використовуючи фрактали. Тому багато сучасні вчені говорять про те, що природа має властивість фрактальності.
1.2 Метод нормованого розмаху
Одним з найбільш популярних методів нелінійної динаміки є аналіз часових рядів на основі обчислення показника Херста, який отримав назву - R/S-аналіз (rescaled range analysis). Метод був запропонований англійським дослідником Гарольдом Херстом. Протягом тривалого періоду часу Херст займався дослідженням Нілу і вирішенням завдань, пов'язаних з накопиченням водних ресурсів. Він відкрив новий статистичний метод - метод нормованого розмаху [12]. Херст показав, що більшість природних явищ, включаючи річкові стоки, зміни температури, опади, зростання кілець дерев, сонячні плями слідують «зміщеному випадковому блуканню» - тренду з шумом. Величина коефіцієнта (показник Херста) характеризує відношення сили тренда (детермінований фактор) до рівня шуму (випадковий фактор). Метод Херста застосуємо і для вивчення часових рядів в економіці і на ринках капіталу, і дозволяє з'ясувати, чи є ці ряди також зміщеними випадковими блуканнями.
Використовуючи безрозмірне відношення нормованого розмаху можна порівнювати різні явища. Херст виявив, що для багатьох часових рядів спостережуваний нормований розмах добре описується емпіричним співвідношенням:
, де
- деяка константа,
- поточне значення довжини вибірки,
- показник Херста (приймає значення від 0 до 1).
Якщо розглянутий часовий ряд володіє довготривалою пам'яттю, то його R/S-траєкторія демонструє факт вичерпання пам'яті так званим «зривом з тренда» або, в іншій термінології, зміною напрямку тренда, уздовж якого слід певну кількість початкових точок R/S-траєкторії.
Вищевказаний термін «зміна тренда» має на увазі, що точки R/S-траєкторії, наступні після точки зміни тренду, вже «не повертаються» до початкового тренду.
Стосовно до фінансових даних можна використовувати наступне трактування: показник Херста вимірює вплив інформації на часовий ряд даних. Значення увазі випадкове блукання, що є підтвердженням гіпотези ефективного ринку. У цьому випадку події некорелліровани, всі новини вже ввібрані і знецінені ринком. На противагу цьому при події сьогодні будуть мати значення завтра, тобто отримана інформація продовжує враховуватися ринком якийсь час опісля. Це не просто автокорреляция, коли вплив інформації швидко падає а це довготривала пам'ять. Вона обумовлює інформаційний вплив протягом великих періодів часу і характеризується довжиною циклу.
На малюнку 1.2 в подвійних логарифмічних координатах представлена ??крива залежності від для, побудована за даними, отриманими за допомогою генератора псевдовипадкових чисел з гауссовским виходом, і показує. Ця оцінка трохи вище, ніж очікувалося, але ці псевдовипадкові числа згенеровані детерміністичним алгоритмом, що може бути причиною зсуву. Важливо заув...
