.
Для однокомпонентної системи (ne nh=0) будемо використовувати такий вираз:
, (9)
де - число еквівалентних долин.
У загальному випадку візьмемо наступну апроксимацію для:
, (10)
де і - обмінно-кореляційні енергії на частку задаються формулами (9) і (8), відповідно,
Для f (y) використовується таке ж вирази, як в роботі:
(11)
Припускаємо, що існує рівновага між поверхнею і об'ємом, тоді повинні виконуватися умови:
, (12)
, (13)
де - середнє видалення електронів (дірок) від поверхні напівпровідника, - число еквівалентних долин, e і h- квазірівні Фермі для електронів і дірок,.
Таким чином, задаючи e і h ми можемо знайти концентрації і для заданих значень.
Фізична причина утворення другого шару дуже проста. Припустимо, що перший шар є електронним, а другий дірковим. Тоді при висвітленні світлом, коли e і, падіння потенціалу в електронному шарі відбувається на відстані близько декількох екситонних радіусів і дірки зможуть знаходитися поблизу електронного шару. Переекраніровка зовнішнього електричного поля електронами буде гаситися дірками, причому дірки спільно з електронами будуть самі створювати собі потенційну яму.
Оцінимо зміна повної енергії при додаванні до двовимірного шару електронів двовимірного шару дірок щільності. Нехай шари знаходяться на відстані, тоді, вважаючи, що носії утворюють - шари, одержуємо для зміни електростатичної енергії:. У кінетичної енергії враховуємо тільки енергію руху вздовж поверхно?? ти. Тоді отримаємо для вкладу кінетичної енергії в:? T. Для зміни обмінно-кореляційної енергії запишемо наближене вираження :, де -середня обмінно-кореляційна енергія.
Таким чином, зміна повної енергії Et запишеться в наступному вигляді:
Et=+ 4Nh2zeh + Nh, (14)
Використовуючи просту апроксимацію, для і нехтуючи електростатичної енергією, отримуємо необхідна умова для утворення 2МЕДП:
, (15)
де - характерний розмір хвильової функції електронів, - константа, чисельне значення якої порядку одиниці.
З виразу (15) випливає, що найбільш стабільний стан 2МЕДП буде спостерігатися для поверхонь із більшими і.
Для більш суворого визначення умов існування 2МЕДП необхідно чисельно Самоузгоджені вирішити рівняння Кона-Шема (1) - (9). Самоузгоджені обчислення зроблені для різних поверхонь кремнію. На рис. 4 показані хвильові функції та ефективні потенціали для поверхні кремнію (100), причому в першому шарі знаходяться дірки, а в другому електрони (he шар). Видно, що хвильові функції електронів і дірок сильно перекриваються.
Для того щоб показати можливість утворення другого шару (наприклад, електронного) необхідно обчислити середню енергію зв'язку електрона і дірки:
і хвильові функції електронів і дірок для поверхні кремнію (100):
=1012см - 2, Ne=4 * 1011см - 2.
Малюнок 4- Самоузгоджені потенціали
На рис. 5 показана залежність середньої енергії від електронної щільності для eh шару при різних. Область існування 2МЕДП знаходиться з умови. Видно, що існує область густин (а значить і область для квазірівні Фермі e і h), в якій можливе утворення 2МЕДП. Спадання середньої енергії зв'язку з зростанням щільності Ne (або) відбувається в основному через зростання кінетичної енергії носіїв уздовж поверхні напівпровідника. Тому для поверхонь із більшими ефективними поздовжніми масами і (або) великим числом еквівалентних долин 2МЕДП може утворюватися для ширшої області густин в другому шарі. Відзначимо, що для поверхні (100) існує критична концентрація, вище якої утворення 2МЕДП неможливо.
На малюнку 5 наведено результати для (111) поверхні кремнію. Саме для цієї поверхні є найбільше число еквівалентних долин і, отже, кінетична енергія носіїв дає найменший внесок у повну енергію. Порівняння малюнків 4 і 5 показує, що середня енергія зв'язку електрона і дірки істотно більше для поверхні кремнію (111)
Цікава особливість виникає залежно суми квазірівні Фермі електронів і дірок від концентрації носіїв у другому шарі (мал.).
Малюнок 5 Залежність середньої енергії зв'язку електронів і дірок від концентрації дірок в кремнії (111)
Малюнок 6 Залежність суми квазірівні Фермі від концентрації дірок у другому шарі для eh-шару на (111) поверхні кремнію.
При концентраціях сума e + h збільшується із зростанням. Така залежність пов'язана з тим, що при низьких концентраціях головну роль грає обмінно-кореляційне взаємодію. Монотонне зростання суми квазірівні Фермі із збільшенням концентрації в другому шарі може призвести до просторової нестійкості в другому шарі носіїв.
