>
Інтеграл площ . Помножимо тепер рівняння руху (1.2.7) векторно на =, вважаючи спочатку, що тобто вектори і неколінеарна. Тоді
(1.2.10)
Звідси знайдемо векторний інтеграл площ
(1.2.11)
який еквівалентний трьом скалярним интегралам
(1.2.12)
Тут r=(x, у, z), V=(V x, V y, V z), C=(C x, C y, C z); проекції векторів розглядаються в системі координат, початок якої збігається з притягає центром, а осі мають постійну орієнтацію в просторі.
Якщо помножити рівняння (1.2.11) скалярно на, то отримаємо
(1.2.13)
Звідси випливає, що вектор завжди знаходиться в площині, що проходить через центр тяжіння та обумовленою нормальним до неї вектором. Ця площина, тобто площину руху супутника, називається незмінної площиною Лапласа. Щоб отримати рівняння площини руху супутника в координатної формі, помножимо рівняння (1.2.12) відповідно на х, у, z і складемо. Тоді отримаємо
(1.2.14)
Рівняння орбіти. Згідно з умовою (1.2.14) рух супутника відбувається в незмінній площині, тобто траєкторія являє собою плоску криву, яку називають орбітою супутника. Для отримання рівняння орбіти використовуємо вектор Лапласа. Попередньо знайдемо скалярний добуток на:
(1.2.15)
Але визначенню скалярного твори
(1.2.16)
де - кут між векторами і, тоді
(1.2.17)
(1.2.18)
(1.2.19)
Вводячи позначення
; (1.2.20)
(1.2.21)
отримаємо остаточно рівняння орбіти супутника в полярних координатах
(1.2.22)
Тут р - параметр орбіти, що визначає її лінійні розміри, а е - ексцентриситет орбіти, що характеризує її форму.
З іншого боку, співвідношення (1.2.22) являє собою рівняння конічного перетину в полярних координатах з полюсом у фокусі. Це конічний перетин симетрично щодо вектора Лапласа, а полярний кут, який називають істинної аномалією, визначає поворот поточного радіуса-вектора щодо осі симетрії. Отриманий результат відображає перший закон Кеплера:
Рух супутника щодо притягає центру завжди відбувається по конічних перетинах (по еліпсу, окружності, гіперболи, параболи або прямий), в одному з фокусів якого знаходиться притягає центр.
Головна, або фокальна, вісь орбіти, що збігається з напрямком вектора Лапласа, називається в астрономії лінією апсид. Точки перетину?? тієї лінії з орбітою називають апсідал'нимі, або просто апсидами. Апсиди збігаються з вершинами конічного перетину і мають спеціальні назви. У загальному випадку найближчу до притягує центру апсиду називають перицентр, а найбільш віддалену - апоцентра. Зауважимо, що перицентр існує для будь-яких орбіт, а апоцентр - тільки для замкнутою. Залежно від притягає центру апсиди мають свої власні назви. Наприклад, для Землі це перигей і апогей, для Місяця - периселеній і апоселеній, для Сонця - перигелій і афелій і т.д.
Перетворимо тепер формулу (1.2.21)
(1.2.23)
Зі співвідношень (1.2.20) і (1.2.23) випливає, що по заданих величинам твори постійної тяжіння на масу центрального тіла (?), постійної інтеграла енергії (h) і постійної інтеграла площ (С ) можна обчислити параметр орбіти і її ексцентриситет, тобто задати форму і розміри орбіти в її площині.
1.3 Основні елементи орбіти
Рух супутника щодо притягає центру описується трьома рівняннями другого порядку (1.2.7). Отже, щоб повністю визначити рух супутника, треба задати шостій похідних постійних. Наприклад, можна задати три координати і три складові швидкості в деякій точці траєкторії. Зазвичай в астрономії використовуються спеціальним чином підібрані постійні, за допомогою яких вдається найбільш просто і наочно визначити рух супутника
Вибір елементів орбіти . Шість довільних постійних, які дозволяють повністю визначити положення супутника в будь-який момент часу, називають елементами орбіти супутника. ?- Довгота висхідного вузла (або просто довгота вузла). Цей кут фіксує положення висхідного вузла щодо деякого початку відліку (рис. 1.2) і може змінюватися в діапазоні
(1.3.1)
