r />
Площа еліпса S=ab, де а і b - його велика і мала півосі. Враховуючи, що
(1.1.26)
а також використовуючи співвідношення (1.1.10), отримуємо
(1.1.27)
(1.1.28)
Рівняння (1.1.28) є математичною записом третього закону Кеплера: квадрати періодів обертання планет навколо Сонця прямо пропорційні кубів великих півосей їхніх орбіт.
. У випадку руху матеріальної точки В в сферично симетричному центральному полі сил відштовхування (? Gt; 0) рівняння її траєкторії (1.1.22) також являє собою рівняння кривої другого порядку:
(1.1.29)
де р і e визначаються за формулами (1.1.24). Повна енергія матеріальної точки В:
(1.1.30)
так як W п gt; 0, а кінетична енергія завжди позитивна. Тому точка В може рухатися тільки або по гіперболічної орбіті, або вздовж прямої, що проходить через центр сил (при L=0).
1.2 Рівняння орбіти
Для опису руху центру мас тіла або матеріальної точки необхідно ввести деякий початок відліку - систему координат. При раціональному виборі системи координат часто вдається значно спростити рівняння руху.
Розрізняють інерційну і неінерціал'ную системи координат. Інерціальній називають таку систему координат, яка знаходиться в стані спокою або рівномірного прямолінійного поступального руху щодо «абсолютної» системи відліку, наприклад, віддалених зірок, умовно званих нерухомими. Всяка інша система координат є неінерціальної. Зауважимо, що часто при вирішенні задач механіки деякі неінерційні системи координат виявляється можливим розглядати в якості інерційних. При цьому допускається несуттєва для даної задачі похибка, але зате вдається значно спростити завдання в цілому.
Рівняння руху в інерціальній системі координат мають найбільш простий вигляд і записуються на основі другого закону Ньютона: добуток маси тіла на його прискорення дорівнює діючій силі.
Абсолютна рух і відносний рух. Розглянемо рух матеріальних точок М і т в деякій інерціальній системі координат. Єдиною силою, під дією якої проходить рух, є сила тяжіння. Для матеріальної точки т ця сила визначається формулою
(1.2.1)
Тут ° - одиничний вектор, спрямований від М до т, r - відносна відстань. Сила, що діє на матеріальну точку М, дорівнює за величиною | |, але спрямована в протилежний бік.
Запишемо на основі другого закону Ньютона рівняння абсолютного руху точок масами m і M:
(1.2.2)
де - радіус-вектор, проведений з початку інерціальній системи координат в точку т, а - радіус-вектор, проведений з початку інерціальній системи координат в точку М. Зрозуміло, що
(1.2.3)
де
Віднімаючи з першого рівняння (2.1.2) друге, отримаємо з урахуванням (1.2.3) рівняння руху матеріальної точки т щодо притягає центру М:
(1.2.4)
; (1.2.5)
якщо позначити
(1.2.6)
добуток постійної тяжіння на суму мас взаємно притягивающихся матеріальних точок.
Рівняння (1.2.5) є основним в задачі двох тіл. У координатної формі воно еквівалентно трьом рівнянням другого
(1.2.7)
де
Рух непрітягівающего супутника . У багатьох завданнях небесної механіки т lt; М і виявляється можливим знехтувати прискоренням, яке супутник т повідомляє притягує центру М. В результаті прийдемо до обмеженою задачі двох тіл (або задачі про непрітягівающем супутнику). Тоді можна поєднати початок інерціальної системи координат з притягає центром М (=,=0) і записати рівняння відносного руху супутника в наступному вигляді:
(1.2.8)
(1.2.9)
добуток постійної тяжіння на масу притягає центру.
З порівняння рівнянь (1.2.5) і (1.2.7) випливає, що притягає супутник з масою т рухається щодо притягає центру з масою М так, як рухався б непрітягівающій супутник навколо притягає центру з масою М + т.
Інтеграли рівнянь руху
Рух супутника щодо притягає центру описується системою диференціальних рівнянь шостого порядку
