и також вираз для дебіту для стаціонарної фільтрації:
(28)
У розглянутій задачі забійні тиск є функцією часу.
Знайдемо з формули (28) ставлення
і підставимо його в формулу для тиску в обуреної області (26).
У результаті одержимо розподіл тиску, виражене через заданий дебіт і параметри пласта:
(29)
Для знаходження R (t) складається рівняння матеріального балансу.
Початковий запас газу (при р=РK) в зоні пласта радіусом R (t):
(30)
Поточний запас газу висловимо через середньозважене тиск:
(31)
де визначається за формулою усталеною фільтрації
(32)
Так як відбір газу відбувається з постійним дебітом Qат, то відібрана маса газу до моменту t дорівнює? атQатt. Таким чином,
М0-мt =? атQатt
або, з використанням (30) - (31), знайдемо:
(33)
Підставивши в останнє співвідношення вираз (32) для середньозваженого тиску і (28) для Qат, отримаємо:
або (34)
Для значень часу, для яких маємо:
(35)
Тепер, знаючи закон руху межі обуреної області у вигляді (34) або (35), можна знайти тиск в будь-якій точці пласта в будь-який момент часу по формулі (29), а також зміна тиску на вибої свердловини в будь-який момент часу
р=рк, (36)
(37)
Формули (36) придатні як для нескінченного пласта, так і для кінцевого відкритого та закритого пласта радіусом Rk. В останньому випадку вони справедливі тільки для першої фази руху, поки воронка депресії не досягне кордону пласта, тобто для
Зміна тиску в другій фазі залежить від граничних умов пласта. Якщо пласт закритий, то тиск буде продовжувати знижуватися у всьому пласті, включаючи кордон. Якщо пласт відкритий (р=рк або r=Rk, тобто режим водонапірний, то в другій фазі встановиться стаціонарний режим з постійною депресією pk-pc де:
1.3 Метод усереднення
Ще одним наближеним методом, стосовно завдань несталої фільтрації газу, є метод усереднення тимчасової похідною по простору.
Як приклад розглядається прямолінійно-паралельна фільтрація реального газу. Відповідне цієї нагоди точне диференціальне рівняння має вигляд
(38)
допущених є те, що коефіцієнт сверхсжімаемості z (р) можна замінити на де Pср - деяке середній тиск в області фільтрации. Введемо позначення р1=р/z (р). Тоді рівняння прийме вигляд
(39)
Нехай є спочатку невозмущенная газонасичених пласт шириною В, товщиною h, довжиною L. З трьох сторін пласт обмежений непроникними поверхнями, а з четвертого боку (х=0) розкритий галереєю. У момент t=0 через галерею починає відбиратися газ з постійним масовим дебітом, який відповідно до закону Дарсі можна записати у вигляді:
Потрібно визначити тиск у пласті в будь-який момент часу t gt; 0. Для цього потрібно знайти рішення рівняння (39) в області зміни задовольнить початковому і граничним умовам:
=p10 при t=0 (40)
при x=0, де (41)
при x=L (42)
Як і в методі послідовної зміни стаціонарних станів приймаємо, що в кожен момент часу існує кінцева обурена область l (t), на межі якої виконуються умови
=p102, при x=l (t) (43)
Центральним моментом в розглянутому методі усереднення є прийняття умови
рівносильного припущенням, що в усій частини пласта, охопленої обуренням, тиск змінюється з однаковою швидкістю; тоді рівняння (39) приймає вигляд
(44)
Проинтегрировав це рівняння двічі по х отримаємо:
(45)
Використавши граничні умови на галереї (41) і на кордоні обуреної області (43), в результаті отримаємо
(46)
Для перебування залежності l (t) проробивши ряд перетворень рівняння (39) отримуємо
Звідки (47)
Підставивши вираз l (t) у формулу (46), одержимо залежність тиску, від координати і часу.
У момент Т, коли обурена зона досягне непроникною кордону пласта (l=L) закінчиться перша фаза.
Для визначення її тривалості:
(48)
Можна знайти наближене значення T з формули (47) і переконатися, що похибка не перевищує 3-4%.
Протягом другої фази тиск на кордоні x=L падає і виконується умова (42). Співвідношення для другої фази виснаження газового пласта будуються аналогічним чином. Проробивши аналогічні викладки, отримаємо закон розподілу тиску по пласту:
(49)
і закон зміни тиску на галереї:
