інтегрування лінеаризованого рівняння (16), а не точного (6).
Формули (20) і (21) визначають (при фіксованих значеннях часу t розподіл тиску навколо газової свердловини, що працює з постійним дебітом з моменту t=0. Ці депресійні криві мають такий же характер, як при сталій фільтрації дуже круті поблизу свердловини (рис.1, а). Якщо задати значення r можна знайти зміна тиску в даній точці з плином часу. Можна знайти зміна тиску на вибої (при r=rc) після початку роботи свердловини (рис.1, б):
(22)
Криві розподілу тиску по пласту при несталому притоці газу до свердловини в різні моменти часу (а) і динаміка тисків у фіксованих точках пласта (б)
Рис. 1
Г.І. Баренблатт, застосовуючи аналіз розмірностей, показав, що нелінійне рівняння Лейбензона за певних початкових і граничних умовах має точне рішення, яке може служити еталоном для порівняння з ним наближених рішень.
Для його отримання розглядається задача про нестаціонарному плоскорадіальном притоці газу з постійним дебітом до свердловини в нескінченному пласті. Необхідно проинтегрировать нелінійне рівняння Лейбензона
(23)
При початкових граничних умовах
=pk2 при t=0, 0 lt; r lt; ?
р2=рk2 при r =?, t gt; 0. при r=0
Г.І. Баренблаттом показано, що в такій постановці тиск залежить від деякого єдиного комплексу, що включає в себе обидві змінні - r і t, а диференціальне рівняння в приватних похідних наводиться до звичайного диференціального рівняння, яке легко інтегрується. Щоб встановити, від яких аргументів буде залежати тиск, проведемо аналіз розмірностей. Розподіл тиску в пласті залежить, як випливає з постановки задачі, від п'яти визначальних параметрів (n=5): r, t, pk, k/(2? M0), Qатpат?/(? Kh).
Якщо позначити розмірність довжини через L, розмірність часу Т, розмірність тиску [p], то розмірності цих параметрів виразяться наступним чином:
[r]=L, [t]=T, [pk]=[p], [k/(2? m0)]=L2/[p] T, [Qатpат?/(? kh).] =[p] 2.
Серед цих параметрів - три з незалежними размерностями: r, t, pk (k=3). Як випливає з П-теореми, шукана функція - тиск, приведене до безрозмірного вигляду F=p/pk,, буде залежати від двох безрозмірних комплексів (nk=5-3=2). Такими безрозмірними комплексами є наступні:
і,
т.е. F=p/pk=F (?,?).
Диференціюючи функцію F по t і по r як складну функцію і підставляючи похідні в рівняння (23), одержимо, що функція F задовольняє звичайного диференціального рівняння
(24)
при цьому початкові і граничні умови зводяться до наступних:
при?=0; F (?,?)=1 при? =? (25)
Рівняння (24) при умовах (25) було проінтегрувати чисельно. Результати розрахунків наведено в табл.1 для значень?=0,01 і?=0,004994. Через? * В табл.1 позначено таке значення аргументу?, Що для? Lt; ? * Значення? DF2/d ?, відрізняються від? менше, ніж на 0,01%. Значить, для? Lt; ? * Можна вважати, що? DF2/d? =?.
Проинтегрировав це рівність, отримаємо:
F2=F2 (? *,?) +? ln (? /? *) (?,?)=[F2 (? *,?) -? ln (? * /?)] ? для? lt; ? *.
Тому значення F (?,?) для? lt; ? * В табл. 1 не приведені.
Таблиця 1 - Результати чисельного розрахунку автомодельного рішення
?=0,01?=0,004994? F (?,?)? F (?,?)? *=0,005787 0,01157 0,01923 0,03472 0,06553 0,09645 0,1582 0,2816 0,5285 0,7754 1,269 1,763 2,751 3,7380,9701 0,9737 0,9763 0,9793 0,9825 0,9845 0,9870 0,9899 0,9930 0,9948 0,9970 0,9982 0,9994 0,9999? *=0, .003886 0,01555 0,03109 0,06218 0,2487 0,4974 0.9949 1,492 2,498 3,482 0,9842 0,9877 0,9894 0,9912 0,9947 0,9964 0,9980 0,9988 0,9996 0,9999
1.2 Рішення завдання про приплив газу до свердловини методом послідовної зміни стаціонарних станів
Цей метод заснований на таких передумовах:
в кожен момент часу існує кінцева обурена область, в якій відбувається рух газу до свердловини;
рух усередині обуреної області стаціонарно;
розмір обурений ної області визначається з умови матеріального балансу.
Вирішимо цим методом ту ж задачу про несталому притоці газу до свердловини з постійним заданим дебітом Qат, але будемо вважати радіус свердловини кінцевим і рівним rc.
У будь-який момент часу обуреної областю є кругова область радіусом R (t), всередині якої тиск розподілено по стаціонарному закону
(26)
Поза обуреної області тиск дорівнює початкового (невозмущенное стан):
=РK, r gt; R (t) (27)
У обуреної області можна написат...
