> Доведення . Покладаючи
, (5)
маємо (див. (3)); а того что за умів, де є незалежне від число, то на підставі теореми ( если послідовність елементів простору має таку властівість, что для шкірного лінійного функціонала , Означення в , маємо , то послідовність норм є обмежена ), для шкірного маємо. Отже, на Основі теореми ( если для даної послідовності лінійніх операцій, Означення в , справедлива нерівність для шкірного , то послідовність норм є обмежена ) існує таке число, незалежне Від і від, що.
А того что для маємо, то Прості міркування приводять до висновка, что існує для шкірного елемента, Який задовольняє умови теореми.
Теорема 3. Если норми Частинами сум (5) ряду (2) в своїй сукупності є обмежені для шкірного , то ряд (4) збіжній для шкірного функціонала , Який є границею довільної послідовності лінійніх комбінацій, Утворення з членів послідовності .
Доведення аналогічне доведенням теореми 2.
Теорема 4 . Если віконуються умови попередньої теореми и крім того послідовність є фундаментальна, то ряд (2) збігається для всякого елемента .
Доведення . На підставі (5) для шкірного маємо І, крім того, для а звідсі віпліває збіжність ряду (2) для шкірного.
7. Біортогональні системи в Деяк бананових просторах
Розгляньмо тепер Властивості біортогональніх послідовностей в просторах, Які нас особливо цікавлять.
Покладемо
(6)
Припустиме далі, что є послідовність функцій у пространстве, де - послідовність функцій в і, крім того, ЦІ послідовності в даних просторах повні (або замкнені).
Теорема 5 . Если при завданні условиях ряд
Збігається в Середнев з -тим ступінь для всякої Функції , то ряд
Збігається в Середнев з -им ступенем для всякої Функції .
Доведення . Нехай
для. (7)
Отже, за умів ряд для всякого є збіжній у Середньому (тобто за нормою) з -тим ступеня. Тім самим на Основі теореми 3, ряд
, де
є збіжній за нормою (тобто, у Середньому з -им ступеня) для всякого лінійного функціонала, Означення в пространстве, а так само ряд (7) буде збіжній для всякої Функції, що треба Було довести.
Зокрема, если, де найбільше з чисел І, то висновка з попередньої теореми буде така теорема:
Если ряд
(8)
для шкірного збіжній у Середньому з -тим ступінь, то ВІН є такоже збіжній у Середньому з -им ступенем для кожної Функції.
Тут можна пріпустіті, например, что, де є обмежені Функції.
Розглянемо тепер випадок, коли при умові (6), є послідовність інтегровніх функцій, а є послідовність ограниченной функцій у проміжку. Припустиме, крім того, что послідовність є повна в пространстве.
Теорема 6 . Если при ціх условиях ряд
є збіжній у Середнев для , то ряд
для шкірного є почти Всюди ограниченной и навпаки.
Доведення аналогічне доведенням теореми 5: розглядають як елементи області виконував і як лінійні функціоналі; Нарешті, беруть на Рамус теореми 3 і 4.
Зокрема, коли, то маємо Висновки:
. Если ряд (8), де у Середньому збіжній для шкірного, то ВІН для шкірного ограниченной и навпаки.
. Если ряд (8), де, а повна послідовність у пространстве, рівномірно збіжній для шкірного, то ВІН у Середнев збіжній для шкірного и навпаки.
Доведення одержимо так: в першій части теореми розглядаємо як елементи області виконував і як представителей функціоналів; а во второй части розглядаємо як елементи області виконував і як представителей лінійніх функціоналів, Означення у пространстве.
8. Деякі Властивості базісів бананових просторів
Послідовність елементів простору назіваємо базисом (це Поняття запровадів у загально випадка Ю.Шаудер), если для шкірного елемента існує точно така одне послідовність чисел, что
.
Колі дано базис, то нехай буде множини послідовностей, для якіх ряд є збіжній. Покладаючи, легко довести, що так нормована множини утворює простір типу.
Покладемо далі
для кожної послідовності.
Так означена операція є лінійна, бо, а того что вона перетворює мНожина на взаємно одночасно, то оберніть операція є такоже лінійна.
Нарешті, функціонал:
, де
такоже лінійній...
