r />
є ортонормованих базисом простору І, отже, шкірні функція Єдиним чином розвівається в збіжній в трігонометрічній ряд Фур'є
,
и при цьом КОЕФІЦІЄНТИ и знаходяться за формулами
, ,
, ,
и справедлива Рівність Парсеваля
.
Доведення . Множини всех неперервно функцій таких, что є Скрізь щільною в. З Іншого боці за теореми Вейєрштрасса шкірних таку можна як завгодно точно в, а того и в наблізіті скінченнімі лінійнімі комбінаціямі системи (1). Звідсі віпліває, что трігонометрічна система є ПОВНЕ в. Оскількі вона є такоже ортонормованих, то вона и є базисом.
Теорема 2 . Трігонометрічна система
(2)
є ортонормованих базисом простору І, отже, шкірні функція Єдиним чином розвівається в збіжній в трігонометрічній ряд Фур'є.
,
и при цьом КОЕФІЦІЄНТИ знаходяться за формулами
, ,
базис ортонормованих біортогональній банановий
и справедлива Рівність Парсеваля
.
Доведення . Ця теорема є наслідком теореми 1, оскількі можна вважаті, що - парна функція і.
Теорема 1 . Трігонометрічна система
(3)
є ортонормованих базисом простору І, отже, шкірні функція Єдиним чином розвівається в збіжній в трігонометрічній ряд Фур'є
,
и при цьом КОЕФІЦІЄНТИ знаходяться за формулами
, ,
и справедлива Рівність Парсеваля
.
Доведення . Ця теорема є наслідком теореми 1, оскількі можна вважаті, що - непарна функція і.
Теорема 4. Комплексна трігонометрічна система
(4)
є ортонормованих базою простору І, таким чином, шкірні функція Єдиним чином розвівається в збіжній в комплексний ряд Фур'є , и при цьом КОЕФІЦІЄНТИ цього ряду знаходяться за формулою
и справедлива Рівність Парсеваля .
Доведення . Ця теорема є наслідком теореми 1.
Зауваження 1 . Довгий годину Залишани відкрітім питання про поточкову збіжність ряду Фур є Із . Це питання розв язав Карлесон, Який довів, что ряд Фур'є кожної Функції збігається почти Скрізь.
Доведемо тепер тверджень, Пожалуйста використанн при доведенні теореми 1.
Теорема 5. Для шкірного и шкірного проміжка и кожної східчастої на Функції існує неперервно на функція , рівна нулеві поза така, что .
Доведення . Досить провести Функції
де - довільній проміжок, Який містіться в, бо Кожна східчаста на функція є скінченною лінійною комбінацією таких функцій. Підберемо так, щоб і. Безпосередно перевіркою Встановлюємо, что шуканою є функція
6. Деякі Властивості біортогональніх систем
Нехай -послідовність елементів евклідового простору зі скалярним добутком. Послідовність елементів простору назівається біортогональною до системи, если
(1)
Если система має біортогональну систему, то ряд Колі - будь-який елемент, то ряд
(2)
назівається поруч Фурє елемента за системою. Ряд (2) может буті збіжнім, может буті розбіжнім, может буті збіжнім, но его сума может НЕ дорівнюваті.
Приклад 1.
Колі послідовність утворює тотально множини функціоналів и ряд (2) для Деяк елемента збіжній, то є сумою цього ряду; действительно, для маємо:
Теорема 1. Если ряд (2) для шкірного - збіжній, то ряд
є такоже збіжній у Кожній точці для всякого лінійного функціонала .
Доведення . Покладаючи
, (3)
маємо, так что збіжність послідовності в Кожній точці є очевидна.
Теорема 2 . Если норми Частинами сум (3) ряду
(4)
в своїй сукупності є обмежені для всякого лінійного функціонала , то ряд (2) є збіжній для шкірного елемента , Який є границею будь-якої послідовності лінійніх комбінацій , Утворення з членів послідовності .
