, бо
і.
Отже, маємо
для шкірного,
а того что цею розклад єдиний, то одержуємо Рівність (1), тобто послідовність є біортогональна.
Зауважімо, что для шкірного лінійного функціонала, Означення в пространстве, ряд збігається до того, что для шкірного маємо Рівність:
.
невідомо, чи Кожний Сепарабельне простір типом має базис.
Ця проблема розв язана только в Деяк ОКРЕМЕ просторах. Так, например, у пространстве, де, базисом є ортогональна система Haar a. У пространстве базис побудував Ю.Шаудер. У пространстве, де, базис утворює послідовність, де
и
тоді для маємо. Нарешті, в пространстве базисом є ця сама послідовність з прієднанням до неї елемента, де для Отже, для елемента маємо.
9. Деякі! Застосування рядів в бананових просторах
Теорема 7. Если послідовності , и , є біортогональні, а Рівняння , де для шкірного мают точно одного розв'язок , то Із збіжності ряду віпліває збіжність ряду для кожної послідовності чисел .
Доведення . Як легко Бачити, з рівностей: і, де, віпліває Рівність. Отже, на підставі теореми 7 ( Кожна адитивна операція , что задовольняє умову: з и віпліває , є лінійна ), операція є лінійна. Тім самим, покладаючи, маємо, а тому что за окреслений для одержуємо для всяких дійсніх, звідки віпліває безпосередно тверджень Нашої теореми.
Висновок . Если і - ортогональні, нормовані послідовності неперервно функцій и для кожної неперервної Функції існує только один неперервно функція така, что, то з рівномірної збіжності ряду віпліває рівномірна збіжність ряду.
Аналогічні Висновки одержуємо для других функціональніх просторів.
Теорема 8 . Нехай , - біортогональна послідовність, де - тотальна послідовність, а послідовність чисел така, что тоді, коли є послідовність Коефіцієнтів елемента (тобто для ), то є послідовність Коефіцієнтів елемента .
Колі при ціх условиях є послідовність Коефіцієнтів Деяк лінійного функціонала (тобто для ), то є послідовність Коефіцієнтів Деяк лінійного функціонала .
Доведення . ЗА УМОВИ система рівнянь, де для шкірного має точно одного розв'язок. Позначімо его через.
З рівностей: і, де, віпліває очевидно Рівність. Отже, на Основі теореми 7 ( Кожна адитивна операція , что задовольняє умову: з и віпліває , є лінійна ), операція є неперервно.
Зокрема, легко Бачити, что:
для всіх (9)
Отже, если дано такий лінійній функціонал, что для, то за формулою (9) маємо, тобто числа є коефіцієнтамі операции, что ї треба Було довести.
Зауважімо, что при вирази на Основі (9) є границею лінійніх комбінацій, Утворення з членів послідовності.
Як! застосування цього зауваження легко одержуємо таку теорему.
Теорема 9. Нехай - ортогональна, нормована и Замкнена в пространстве послідовність неперервно функцій.
Если послідовність множніків перетворює всяку послідовність Коефіцієнтів обмеженої Функції в послідовність Коефіцієнтів обмеженої Функції, то вона перетворює одночасно шкірних послідовність Коефіцієнтів довільної неперервної Функції такоже у послідовність Коефіцієнтів якоїсь неперервної Функції.
оберніть теорема такоже справедлива.
Нарешті, маємо:
Теорема 10 . Нехай - ортогональна, нормована и повна в пространстве , де , послідовність ограниченной функцій.
Если послідовність множніків перетворює послідовність Коефіцієнтів довільної Функції в послідовність Коефіцієнтів певної Функції , то вона перетворює такоже шкірних послідовність Коефіцієнтів довільної Функції в послідовність Коефіцієнтів певної Функції .
Колі , то .
Негармонійні виряджай Фурє. Нехай - довільна послідовність комплексних чисел. Ряд
назівається узагальненім трігонометрічнім поруч або поруч Діріхле, или негармонійнім поруч Фурє. Питання про можлівість Розкладая довільної Функції в збіжній в цьом пространстве
1
Вперше розглянув Н.Вінер [. ВІН довів Наступний тверджень.
Теорема. Нехай - довільна п...
