Граничні теореми. Характеристичні функції
В
1. Теорема Чебишева
Теорія ймовірностей вивчає закономірності масових випадкових явищ. Якщо явище носить одиничний характер, то теорія ймовірностей не може передбачити результат події. p> Інша річ, коли явище - Масове. Закономірності проявляються саме при великому числі випадкових подій, що відбуваються в однорідних умовах. p> При великому числі випробувань характеристики випадкових подій і випадкових величин практично мало змінюються, тобто стають невипадковими. Ця обставина дозволяє використовувати результати спостережень над випадковими явищами для передбачення результатів майбутніх випробувань.
Надалі ми ознайомимося з двома типами граничних теорем: законом великих чисел і центральною граничною теоремою. Закон великих чисел відіграє дуже важливу роль у практичному застосуванні теорії ймовірностей до явищ природи і технічним процесам, пов'язаних з масовим виробництвом.
Для доказу цих теорем скористаємося нерівністю Чебишева.
Нехай m x і D x - математичне сподівання і дисперсія випадкової величини Х.
Тоді нерівність Чебишева говорить: ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного сподівання буде по абсолютною величиною не менше будь-якого позитивного числа, обмежена величиною, тобто
В
Доказ. Нехай Х - безперервна випадкова величина з щільністю розподілу ймовірностей f (x). За визначенням
(1)
Виділимо на числовій осі інтервал АВ, що складається з точок
А В
х
В
Так як під інтегралом в (1) знаходиться неотрицательная величина, то, викинувши з інтервалу інтегрування відрізок АВ, ми значення інтеграла НЕ збільшимо, тобто
В
Так як тепер, то
В
Звідси безпосередньо і випливає нерівність Чебишева.
Якщо Х - дискретна випадкова величина, то доказ нерівності Чебишева проводиться за виконану вище схемою з тією лише різницею, що замість інтеграла потрібно записати суму.
Так як
,
то нерівність Чебишева можна записати в іншому вигляді
В
Якщо взяти, то отримаємо, що нерівність Чебишева дає оцінку
,
що завідомо виконується, т.к. ймовірність
З іншого боку, якщо взяти, то
,
тобто дає непогану оцінку. Таким чином, ми бачимо, що нерівність Чебишева корисно лише відносно (щодо s х ) великих
Теорема Чебишева. При необмеженому збільшенні числа незалежних випробувань середнє арифметичне спостережуваних значень випадкової величини, що мають кінцеву дисперсію, сходиться за ймовірністю до її математичного сподівання.
Визначення. Випадкові величини сходяться по ймовірності до величини а, якщо для, починаючи з якого виконується нерівність або, по іншому, якщо для будь-якого малого
В
Отже, потрібно довести, що для будь-якого малого
В
Доказ. Введемо випадкову величину
В
Знайдемо числові характеристики випадкової величини Y, користуючись їх властивостями:
В В
Тепер застосуємо нерівність Чебишева до випадкової величиною Y:
В
Оскільки за умовою D x обмежена, то
В
Перш ніж сформулювати центральну граничну теорему введемо характеристичні функції.
В
2. Характеристичні функції
Характеристичні функції є одним із способів опису випадкових величин, зручним при вирішенні багатьох задач теорії ймовірностей.
Нехай є речова випадкова величина Х. Введемо комплексну випадкову величину W за наступному закону:
В
де.
Характеристичною функцією g (t) випадкової величини Х називається математичне сподівання випадкової величини W, тобто br/>В
Знаючи закон розподілу випадкової величини Х, завжди можна знайти її характеристичну функцію g (t).
Для дискретної випадкової величини Х з законом розподілу
Таблиця 1
Х
х1
х2
...
хn
Р
p1
p2
...
pn
характеристична функція
В
Для неперервної випадкової величини з щільністю розподілу ймовірностей f (x) характеристична функція
В
є перетворенням Фур'є щільності розподілу f (x). За допомогою зворотного перетворення Фур'є можна знайти щільність розподілу
В
Для того, щоб ці формули можна було застосовувати потрібно, щоб
В
Як приклад знайде...
