тичними функціями u Вў і u Вў Вў, то
j i ( u Вў + u Вў Вў) = j i ( u Вў) + J i ( u Вў Вў),
тобто заради "справедливості" необхідно вважати, що за участю гравців у двох іграх їх виграші в окремих іграх повинні складатися.
Визначення. Вектором цін (вектором Шеплі) ігри з характеристичною функцією u називається n-мірний вектор
j ( u) = (j 1 (u), j 2 (u), ..., j n (u)),
задовольняє аксіомам Шеплі.
Існування вектора Шеплі випливає з наступної теореми
Теорема. Існує єдина функція j, певна для всіх ігор і яка задовольнить аксіомам Шеплі.
Визначення. Характеристична функція w S ( T ), визначена для будь-якої коаліції S , називається найпростішої , якщо
w S ( T ) =
Змістовно найпростіша характеристична функція описує такий стан справ, при якому безліч гравців S виграє одиницю тоді і тільки тоді, коли воно містить деяку основну мінімальну що виграє коаліцію S .
Вектор Шеплі змістовно можна інтерпретувати в такий спосіб: гранична величина, яку вносить i -й гравець в коаліцію T , виражається як u ( T ) - U ( T { i }) і вважається виграшем i- го гравця; g i ( T ) - це ймовірність того, що i -й гравець набуде коаліцію T { i }; j i ( u) - середній виграш i -го гравця у такій схемі інтерпретації. У тому випадку, коли u - найпростіша,
В
Отже
,
де підсумовування по T поширюється на всі такі виграють коаліції T , що коаліція T { i } не є вигравати.
Приклад. Розглядається корпорація з чотирьох акціонерів, які мають акції відповідно в наступних розмірах
a 1 = 10, a 2 = 20, a 3 = 30, a 4 = 40. br/>
Будь-яке рішення затверджується акціонерами, котрі мають у сумі більшість акцій. Це рішення вважається виграшем, рівним 1. Тому дана ситуація може розглядатися як проста гра чотирьох гравців, в якій виграють коаліціями є наступні:
{2; 4}, {3; 4},
{1, 2, 3}, {1; 2; 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4},
{1, 2, 3, 4}.
Знайдемо вектор Шеплі для цієї гри.
При знаходженні j 1 необхідно враховувати, що є тільки одна коаліція T = {1, 2, 3}, яка виграє, а коаліція T {1} = {2; 3} співпадіння виграє. У коаліції T мається t = 3 гравці, тому
.
Далі, визначаємо всі виграють коаліції, але не виграють без 2-го гравця: {2; 4}, {1, 2, 3}, {2, 3, 4}. Тому
.
Аналогічно отримуємо, що,.
В результаті отримуємо, що вектор Шеплі дорівнює. При цьому, якщо вважати, що вага голоси акціонера пропорційний кількості наявних у нього акцій, то отримаємо наступний вектор голосування, який, очевидно, відрізняється від вектора Шеплі.
Аналіз гри показує, що компоненти 2-го і 3-го гравців рівні, хоча третій гравець має більше акцій. Це виходить внаслідок того, що можливості утворення коаліцій у 2-го і 3-го гравця однакові. Для 1-го і 4-го гравця ситуація природна, що відповідає силі їхнього капіталу.
Висновок
Теорія ігор - наука, що вивчає поведінку багатьох учасників, коли досягаються кожним результати залежать від дій інших.
"Є в сучасній математиці одна область, вона носить невинне назву теорії ігор, але їй, безсумнівно, судилося зіграти дуже важливу роль у человековедении самого найближчого майбутнього, - говорив Джон фон Нейман, один з основоположників кібернетики. - Вона займається питаннями оптимального поведінки людей за наявності протидіє противника. Для вченого супротивник - це природа з усіма її явищами; експериментатор бореться зі середовищем; математик - із загадками математичного світу; інженер - з опором матеріалів ".
Кооперативна теорія ігор, розділ ігор теорії, в якому гри розглядаються без урахування стратегічних можливостей гравців (тим самим кооперативна теорія ігор вивчає певний клас моделей загальних ігор). Зокрема, в кооперативної теорії ігор входить дослідження нестратегічних (кооперативних) ігор, позбавлених з самого початку стратегічного аспекту. У кооперативної грі задаються можливості і переваги різних груп гравців (коаліцій) і з них виводяться оптимальні (стійкі, справедливі) для гравців ситуації, у тому числі розподілу між ними сумарних виграшів: встановлюються самі принципи оптимальності, доводиться їх реалізованість в різних класах ігор і знаходяться конкретні реа...
