едставляти інтерес при дослідженні антиПРО чисел.
Теорема 1. Будь-яке непарне число можна представити як різниця двох антиПРО чисел.
Доказ:
Зауважимо, що 1 = 9 - 8 і 3 = 128 - 125. Нехай тепер 2p + 1 - довільне непарне число і p> 1. Тоді числа p 2 і (p + 1) 2 - АнтиПРО. Їх різниця, як легко помітити, дорівнює 2p + 1. p> Теорема 2. Будь-яке натуральне число, що ділиться на 4, можна представити як різниця двох антиПРО чисел.
Доказ: Зауважимо, що 4 = 8 - 4 і 8 = 16 - 8. Нехай тепер 4p - довільне число, що ділиться на 4 і p> 2. Тоді числа (P - 1) 2 і (p + 1) 2 - антиПРО. Їх різниця, як легко помітити, дорівнює 4p.
Теорема 3. Існує відрізок будь-якої довжини у натуральному ряду, на якому немає антиПРО чисел.
Доказ: Розглянемо систему порівнянь:
В
(-прості числа і).
Якщо дана система має рішення, то тоді отримаємо послідовність чисел довжини таку, що кожен її член ділиться на (), але не ділиться на, тобто не є антиПРО числом. Але дана система має рішення з Китайської теоремі про залишки (числа попарно взаємно прості).
Значить існує відрізок будь-якої довжини у натуральному ряду, на якому немає антиПРО чисел.
Примітка. Китайська теорема про залишки [6].
Якщо - попарно взаємно прості числа, - такі числа, що, то існує таке число, що при всіх . p> Також нам знадобитися наступний відомий факт:
Лемма. Нехай НСД (b; d) = 1. Тоді знайдеться нескінченно багато членів арифметичної (Геометричної) прогресії з початковим членом 1 і різницею (знаменником) b порівнянних з 1 по модулю d.
Теорема 4. У будь-якої арифметичної прогресії (a 0 , d ГЋ N, a 0 > 0), у якої НСД (a 0 ; d) - антиПРО або 1, нескінченно багато антиПРО чисел.
Доказ:
Нехай НСД (a 0 ; d) = +1. Розглянемо арифметичну прогресію з членами виду a 0 + a 0 kd. Кожен її член є членом вихідної арифметичній прогресії. При члени цієї прогресії антиПРО числа. Але відповідно до леми, знайдеться нескінченно багато таких k. Отже, прогресія містить нескінченно багато антиПРО чисел.
У разі, коли НСД (a 0 ; d) - антиПРО, міркування аналогічні.
Теорема 5. Не існує арифметичної прогресії (,) складається тільки з антиПРО чисел або такий у якої після n-ого члена всі члени - антиПРО числа.
Доказ:
Якщо всі члени арифметичної прогресії (різниця,) після-ого члена () - антиПРО числа, то взявши арифметичну прогресію з і різницею, отримаємо арифметичну прогресію, що складається тільки з антиПРО чисел.
Нехай існує арифметична прогресія, яка складається тільки з антиПРО чисел ().
Розглянемо, і просте число.
Якщо уявно у вигляді (то є порівняння має рішення), те тоді не антиПРО число (ділиться на, але не ділиться на).
Але порівняння має рішення відповідно до леми, оскільки НСД () = +1. Значить не антиПРО число - протиріччя.
Значить не існує арифметичної прогресії, що складається тільки з антиПРО чисел.
Слідство. У будь арифметичної прогресії (,) нескінченно багато не антиПРО чисел (якщо, то і).
Одне з примітних в теорії чисел понять - досконале число. Це натуральне число, що дорівнює сумі своїх натуральних дільників, виключаючи саме число. На жовтень 2008 р. Відома лише 46 парних досконалих чисел, непарних досконалих чисел знайдено не було. Постає питання, а чи можуть антиПРО числа бути вчиненими? У цьому зв'язку цікаві наступні дві теореми. p> Теорема 6. Число виду НЕ абсолютно (- просте, - натуральне).
Дійсно, якщо - абсолютно, то вірно наступне:
В
Отже - не зовсім.
Теорема 7. Число виду НЕ абсолютно (- ціле).
Доказ:
Нехай абсолютно. Розглянемо два випадки:
1. - Парне. Уявімо в вигляді добутку простих множників:
. Кількість натуральних дільників числа одно, притому кількість парних їх сума парна, непарних їх сума непарна, сума всіх натуральних дільників - непарна, але їх сума дорівнює - протиріччя.
2. - Непарній. Уявімо в вигляді добутку простих множників:
. Кількість натуральних дільників числа одно, сума їх непарна, але вона ж дорівнює - протиріччя.
Складним виявилося питання про існування трьох поспіль йдуть антиПРО числах, намагаючись його послабити, ми спробували розглянути спільне розташування послідовно розташованих простих і антиПРО чисел. При цьому нами було поставлено ряд питань, на які вдалося отримати відповіді.
Питання 1. Чи існують три поспіль йдуть натуральних числа, кожне з яких є або простим, або антиПРО?
Відповідь. Розглянемо трійки виду (p 1 ; p 2 ; a) (a; p 1 ; p 2 ): Одне з чисел p 1 або p 2 парне, тобто 2, так як 1 цієї статті не антиПРО і не просте, то трійок (a; p
