д 8001 до 9000 - 11, від 9001 до 10 000 - 10 і т.д.
Але щоб побачити деяку закономірність, спробуємо розмірковувати, як і з простими числами.
Добре відомий постулат Бертрана [3, 4, 5, 6]: для будь-якого натурального n2 на відрізку [n; 2n] лежить як мінімум одне просте число. Така гіпотеза була висунута в 1845 році французьким математиком Бертраном (Перевірила її до n = 3000000) і доведена в 1850 Чебишевим. Рамануджан в 1920 році знайшов більш просте доказ, а Ердешу в 1932 - ще більш просте.
Для антиПРО чисел зауважимо щось схоже.
На відрізку [n; n +2 в€™ [] +1] знаходиться квадрат натурального числа. Дійсно, якщо n точний квадрат, то і n +2 в€™ [] +1 точний квадрат. Якщо n НЕ квадрат натурального числа, то число ([] +1) 2 - точний квадрат лежить на відрізку [n; n +2 в€™ [] +1]. Зауважимо, що для n> 5 довжина відрізка [n; n +2 в€™ [] +1] менше n. p> За аналогією доведемо що на відрізку [n; n +2 в€™ [] +1 +2 в€™ [] +3] лежить 2 квадрата натуральних чисел (тобто 2 антиПРО числа). Очевидно, що і. Якщо n не точна квадрат натурального числа, то число ([] +1) 2 і - точні квадрати лежать на відрізку [n; n +2 в€™ [] +1 +2 в€™ [] +3]. Зауважимо, що для n> 10 довжина цього відрізка менше n. p> Міркуючи аналогічно, з обліком, доводиться, що на відрізку лежить k квадратів натуральних чисел (де - сума всіх непарних чисел від 1 до 2k-1, тобто ). Зауважимо, що для будь-якого натурального k знайдеться натуральне n таке що, (наприклад, n = 9k 2 ), тобто існує таке n, для якого. Отже, з зростанням n мінімальна кількість антиПРО чисел на відрізках [n; 2n] збільшується.
Зауважимо також, що аналог гіпотези Лежандра [3] про те, що для будь-якого n ≥ 2 знайдеться просте число в інтервалі [n 2 ; (n +1) 2 ], для антиПРО чисел виконується. Адже будь-який квадрат сам по собі вже антиПРО число. p> Для оцінки кількості чисел на відрізку від 1 до n побудуємо графік, на якому по осі Ox будемо відкладати числа від 1 до 1 500 000, а по осі Oy - значення функції p (n), тобто кількість антиПРО чисел на відрізку від [1; n] (див рис. 1).
В
Рисунок 1 - Графік функції p (n)
Порівняємо графік на рис. 1 з графіком функції (см рис.2).
В
Рисунок 2 - Графік функції
Для порівняння на малюнку 3 представлені одночасно графіки функцій p (n) і. Дослідження показали, що на відрізку до n = 420000 p (n), а далі p (n), причому відсоток помилки слабкий (див. таблицю +1 в Додаток В). Так як спочатку p (n), то відсоток помилки убуває, після n = 420000 він починає зростати, і при n = 2000000 він приблизно дорівнює 2%.
В
Рисунок 3 - Порівняння графіків функцій p (n) і
1.3 Дослідження частоти зустрічальності антиПРО чисел серед натуральних чисел
Будемо досліджувати частоту зустрічальності антиПРО чисел серед натуральних чисел в наступному сенсі. Необхідно дослідити властивості частоти народження антиПРО чисел на відрізках довжини т, розташованих в ряду натуральних чисел від 1 до 1000000 та ін і отримати будь-які загальні закономірності. Назвемо частотою народження антиПРО чисел на відрізку [1, т] число t (т) = P (т)/т. Аналогічно t (k, т) = p (k, т)/(т - k +1) - частота народження антиПРО чисел на відрізку [k, т]. Для оцінки частоти народження антиПРО чисел на відрізку від 1 до m побудуємо графіки функцій t (т) = p (т)/т (див рис. 4).
В
Рисунок 4 - Графік функції
Вивчивши графік частоти t (т) = p (т)/т зустрічальності антиПРО чисел на відрізку від 1 до m, отримаємо, що при малих значеннях m він коливається, то зростаючи, то убуваючи (максимуми при антиПРО m), але досягнувши свого найбільшого значення при m = 9 набуває тенденцію до спаданням.
На малюнку 5 представлений графіки функцій t (т) і y (x) = () для.
В
Рисунок 5 - Графік функції t (т) і y (x) =
З графіка на рис. 5 і з попереднього пункту при великих m отримуємо гіпотезу t (т).
У таблиці 2 (см Додаток Г) наведено порівняння значень функцій t (m), f (m) = і y (x) = до m = 1500000 і обчислена середня помилка наближення.
Середня помилка наближення функції t (m) до функції f (m) = склала 1,185812%, а до функції y (x) = - 0,280031%.
Дослідження функції t (k, т) = p (k, т)/(т - k +1) - частоти народження антиПРО чисел на відрізку [k, т], що не дозволило виявити закономірностей. Ясно лише, що вона при будь-якому m приймає значення від 0 до 1. Всього різних значень не більше m +1, а при m> 3 не більше m і серед них буде 1. Є гіпотеза (строго це не доведено), що t (k, т) НЕ періодична функція. Це також буде слідувати з доведеною нижче теореми 5.
2 Узагальнення про антиПРО числах
Мета цієї роботи лише вирішити поставлені на турнірі завдання, а й запропонувати свої питання для дослідження задачі про антиПРО числах і досліджувати їх.
Доведемо ряд теорем, які можуть пр...
