') = ∫ ∫ R (τ, τ ') dτdτ '
Якщо інтеграл у середньому квадратичному функції X (t) існує, то
M [Y (t)] = ∫ M [X (τ)] dτ,
R Y (t, t ') = ∫ ∫ R (τ, τ ') dτdτ'
K y (t, t ') = ∫ ∫ K (τ, τ ') dτdτ'
Тут R y (t, t ') = M [Y (t) Y (t')], K y (t, t ') = M [Y (t) Y (t ')] - коваріаційна і кореляційний функції випадкового процесу Y (t).
Теорема. Нехай X (t) - Гильбертів випадковий процес з ковариационной функцією R (t, t '), П† (t) - речова функція й існує інтеграл
∫ ∫ φ (t) φ (t ') R (t, t') dtdt '
Тоді існує в середньому квадратичному інтеграл
∫ φ (t) X (t) dt.
Випадкові процеси:
X i (t) = V i П† i (t) (i = 1n)
Де П† i (t) - задані речові функції
V i - випадкові величини з характеристиками
M (V I = 0), D (V I ) = D I , M (V i V j ) = 0 (i в‰ j)
Називають елементарними.
Канонічним розкладанням випадкового процесу X (t) називають його подання у вигляді
X (t) = m x (t) + Σ V i φ i (t) (t € T)
Де V i - коефіцієнти, а П† i (t) - координатні функції канонічного розкладання процесу X (t).
З відносин:
M (V I = 0), D (V I ) = D I , M (V i V j ) = 0 (i в‰ j)
X (t) = m x (t) + Σ V i φ i (t) (t € T)
наступному:
K (t, t ') = ОЈ D i П† i (t) П† i (t')
Цю формулу називають канонічним розкладанням кореляційної функції випадкового процесу.
У разі рівняння
X (t) = m x (t) + Σ V i φ i (t) (t € T)
Мають місце формули:
X (t) = m x (t) + ОЈ V i П† (t)
∫ x (τ) dt = ∫ m x (τ) dτ + Σ V i ∫ φ i (t) dt. br/>
Таким чином, якщо процес X (t) представлений його канонічним розкладанням, то похідна і інтеграл від нього також можуть бути представлені у вигляді канонічних розкладань.
Марківські випадкові процеси з дискретними станами
Випадковий процес, протікає в деякій системі S з можливими станами S 1 , S 2 , S 3 , ..., називається Марківським , або випадковим процесом без наслідку , якщо для будь-якого моменту часу t 0 ймовірні характеристики процесу в майбутньому (при t> t 0 ) залежить тільки від його стану в даний момент t 0 і не залежать від того, коли і як система прийшла в цей стан; тобто не залежать від її поведінки в минулому (при t 0 ).
Прикладом Марковського процесу: система S - лічильник в таксі. Стан системи в момент t характеризується числом кілометрів (десятих часток кілометрів), пройдених автомобілем до даного моменту. Нехай у момент t 0 лічильник показує S 0 /Ймовірність того, що в момент t> t 0 лічильник покаже те або інше число кілометрів (точніше, відповідне число рублів) S 1 залежить від S 0 , але не залежить від того, в які моменти часу змінилися показання лічильника до моменту t 0 .
Багато процесів можна наближено вважати Марковський. Наприклад, процес гри в шахи, система S - група шахових фігур. Стан системи характеризується числом фігур супротивника, що збереглися на дошці в момент t 0 . Ймовірність того, що в момент t> t 0 матеріальна перевага буде на боці однієї з противників, залежить в першу чергу від того, в якому стані знаходиться система в даний момент t 0, а не від того, коли і в якій послідовності зникли фігури з дошки до моменту t 0 .
У ряді випадків передісторією розглянутих процесів можна просто знехтувати і застосовувати для їх вивчення Марківські моделі. p> Марківським випадковим процесом з дискретними станами і дискретним часом (або ланцюгом Маркова ) називається Марковський процес, в якому його можливі стану S 1 , S 2 , S 3, ... можна заздалегідь перерахувати, а перехід зі стану в стан відбувається миттєво (стрибком), але тільки в певні моменти часу t 0, t 1, t 2, ..., звані кроками процесу.
Позначимо p ij - ймовірність переходу випадкового процесу (системи S...
