p> Досконалим називається число, рівне сумі всіх своїх дільників (включаючи 1, але виключаючи саме число).
Першим прекрасним досконалим числом, про який знали математики Стародавньої Греції, було число "6". На шостому місці на кликаному бенкеті сидів при столі найповажніший, найпочесніший гість. У біблійних переказах стверджується, що світ був створений в шість днів, адже більш досконалого числа, серед скоєних чисел, ніж "6", немає, оскільки воно перше серед них.
Розглянемо число 6. Число має дільники 1, 2, 3 і саме число 6. Якщо скласти подільники, відмінні від самого числа 1 + 2 + 3 то ми отримаємо 6. Значить, число 6 дружньо самому собі і є першим досконалим числом.
Наступним досконалим числом, відомим стародавнім, було "28". Мартін Гарднер вбачав у цьому числі особливий сенс. На його думку, Місяць оновлюється за 28 діб, тому що число "28" - досконале. У Римі в 1917 році при підземних роботах було відкрито дивну споруду: навколо великого центрального залу розташовані двадцять вісім келій. Це була будівля неопіфагорейской академії наук. У ній було двадцять вісім членів. До останнього часу стільки ж членів, часто просто за звичаєм, причини якого давним-давно забуті, належало мати в багатьох вчених товариства. До Евкліда були відомі тільки ці два скоєних числа, та ніхто не знав, чи існують інші зроблені числа і скільки таких чисел взагалі може бути.
Завдяки своїй формулою, Евклід зумів знайти ще два скоєних числа: 496 і 8128.
Майже півтори тисячі років люди знали лише чотири скоєних числа, і ніхто не знав, можуть Чи існуватиме ще числа, які можна представити у евклідовской формулою, і ніхто не міг сказати, чи можливі досконалі числа, що не задовольняють формулою Евкліда. p> Формула Евкліда дозволяє без праці доводити численні властивості досконалих чисел.
- Всі досконалі числа трикутні. Це означає, що, взявши вчинені число куль, ми завжди зможемо скласти з них рівносторонній трикутник.
- Всі досконалі числа, крім 6, можна представити у вигляді часткових сум ряду кубів послідовних непарних чисел 1 3 + 3 3 + 5 3 ...
- Сума зворотних всім делителям досконалого числа, включаючи його самого, завжди дорівнює 2.
Крім того, досконалість чисел тісно пов'язане з двоічность. Числа: 4 = 2 Г— 2, 8 = 2 О‡ 2 О‡ 2, 16 = 2 О‡ 2 О‡ 2 О‡ 2 і т.д. називаються ступенями числа 2 і можуть бути представлені у вигляді 2n, де n - число перемноження двійок. Всі ступеня числа 2 чуть-чуть "не дістають" до того, щоб стати досконалими, так як сума їх дільників завжди на одиницю менше самого числа.
- Всі вчинені числа (крім 6) закінчуються в десяткового запису на 16, 28, 36, 56, 76 або 96. p> 4.3 Компанійські числа
Поняття досконалих і дружніх чисел часто згадуються в літературі з цікавої математики. Проте чомусь мало говориться про те, що числа можуть дружити і компаніями. Поняття компанійських чисел добре розкривається в англомовних джерелах.
Компанійський називається така група з k чисел, в яких сума власних дільників першого числа дорівнює другому, сума власних дільників другого - третьому і т.д. А перше число дорівнює сумі власних дільників k-го числа. p> Є компанії по 4, 5, 6, 8, 9 і навіть 28 учасників, а от по три не знайдено. Приклад п'ятірки, поки єдиною відомою: 12496, 14288, 15472, 14536, 14264.
Глава 5. Числові забобони і містичні уявлення чисел
5.1 Число звіра 666
Число звіра 666 - число Сміта, сума його цифр дорівнює сумі цифр його простих співмножників: 2 + 3 + 3 + (3 + 7) = 6 + 6 + 6 = 18. p> 666 є сумою квадратів перших семи простих чисел:
2 2 + 3 2 + 5 2 + 7 2 + 11 2 + 13 2 + 17 2 = 666. br/>
666 одно різниці і суму шостих ступенів перших трьох натуральних: 1 6 - 2 6 + 3 6 = 666. p> 666 дорівнює сумі своїх цифр і кубів своїх цифр:
6 + 6 + 6 + 6 3 + 6 3 + 6 3 = 666. br/>
666 можна записати дев'ятьма різними цифрами двома способами в їх зростаючому порядку та одним в порядку спадання:
1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89 = 666
123 + 456 + 78 + 9 = 666
9 + 87 + 6 + 543 + +21 = 666
Сума всіх цілих від 1 до 36 включно - 666. Це означає, що 666 - це 36-е трикутне число.
5.2 Число Шахірізади
Число Шахірізади - число 1001, яке фігурує в заголовку безсмертних казок "Тисяча і одна ніч". З точки зору математики число 1001 володіє цілим рядом цікавих властивостей: це саме маленьке натуральне чотиризначне число, яке можна представити у вигляді суми кубів двох натуральних чисел: 1001 = 10 3 +1 3 ; число 1001 складається з 77 злощасних чортових дюжин (1001 = 13 О‡ 77); або з 91 числа 11, або з 143...
