два умови, маємо
, якщо або непарній. (4.7)
Корисно також згадати, що для використовуваних поліномів Чебишева другого роду, які визначаються формулою
, (4.8)
(4.9)
так що ці поліноми ортогональні на відрізку [- 1, 1] щодо вагової функції. p> Враховуючи (4.9), можна показати [5], що
. (4.10)
Зіставляючи (4.6) і (4.10), бачимо, що, як шукана функція, так і її радоновскій образ, виражаються через подвійні суми за індексам і , в яких використовуються одні й ті ж коефіцієнти , але різні послідовності ортогональних функцій.
Приклад
Нехай, її радоновскій образ знаходиться по (2.7) при та виявляється рівним
.
Згідно (4.5), якщо те (через центральної симетрії функції), а для отримуємо значення коефіцієнтів розкладання
=
=
Виконуючи підсумовування в (4.6) з даними коефіцієнтами одержимо наближене значення вихідної функції зображення.
5. Регуляризація ФОРМУЛ ОБІГУ
Зазвичай замість точною проекції відома перекручена проекція
, (5.1)
де описує відповідну випадкову похибку,
яка виявляється в даному випадку у вигляді адитивної добавки. Тоді завдання реконструкції можна переформулювати наступним чином: потрібно за наближеним проекційним даними знайти наближену функцію, яка в якомусь сенсі добре описувала б шукану функцію. Безпосередня підстановка "зашумлених" проекційних даних [7] у вказаний обчислювальний алгоритм призводить до великих спотворень в. Справа в тому, що завдання реконструкції відноситься до так званих некоректним задачах [8]. Фізична суть "некоректності" виявляється в тому, що якщо користуватися точним рішенням некоректною завдання, то навіть при невеликих викривлення у вихідних даних це рішення може істотно відрізняться від шуканої функції. Усунути це небажане явище можна, регулярізіруя формули звернення. У методах, заснованих на перетворенні Радону (Розділ 2) для цього достатньо "придушити" вплив високих частот у, що можна, наприклад, досягти множенням на регулярізующіе функції. Зазвичай регулярізующіе функції вибирають в наступному вигляді:
; (5.2)
; (5.3)
(5.4)
Постійне називається параметром регуляризації і підбирається емпірично при розрахунку. Чим більше інтенсивність очікуваних спотворень, тим більше має бути значення параметра.
Формули звернення перетворення Радону (2.25) з урахуванням регуляризації виходять шляхом заміни на, а (2.32) такий же заміною в (2.29). p> Що стосується методу ортогональних поліномів (Розділ 4), то описаний вище алгоритм реконструкції функції є точним у тому сенсі, що якщо її радоновскій образ відомий точно, то по ньому, в принципі, можна знайти точні значення всіх коефіцієнтів і далі за формулою (4.6) здійснити точне відновлення шуканої функції. Однак на практиці реалізувати подібне точне відновлення неможливо. Цьому перешкоджають, принаймні, дві причини. Перша криється в самій сутності обговорюваного алгоритму, бо, для того щоб він був точним, необхідно згідно (4.6) у загальному випадку визначити нескінченне число членів . Друга пов'язана з неможливістю точного вимірювання радоновского образу. У результаті визначаються по ньому коефіцієнти будуть відрізнятися від їх точних значень .
Таким чином, в реальному алгоритмі відновлення бере участь обмежене число членів ряду (4.6). Для визначеності надалі будемо вважати, що обмеження проводиться за індексом , так що . Цієї умови достатньо, тому що в силу (4.7) воно однозначно визначає кінцеве число всіх відмінних від нуля коефіцієнтів . Змінюючи порядок підсумовування в (4.6) і роблячи його аналогічним (4.10), маємо
. (5.11)
Відомо [5], що обмеження підсумовування в (5.1) призводить до функції , хоча і відмінною від , але це відміну, що оцінюється за среднеквадратической похибки
, (5.12)
буде мінімально, якщо коефіцієнти в (4.1) розраховуються за колишніми формулами (4.2). Даний факт говорить про те, що вимушене на практиці обмеження числа визначених коефіцієнтів НЕ має призвести до зміни тих формул, за якими вони розраховуються.
Зі збільшенням числа - членів суми (5.11) похибка (5.12) монотонно зменшується. Важливо підкреслити, що це відбувається тільки тоді, коли коефіцієнти відомі точно. Якщо ж вони визначаються з деякими помилками, то зазначена залежність порушується. У цьому випадку конкретний характер поведінки похибки (5.12) з ростом числа М під чому визначається статистикою помилок вимірювання. В результаті зменшення усередненої похибки за рахунок збільшення числа членів суми (5.11) може відбуватися тільки до деякої межі, після якого вона починає збільшуватися. Більше того, часто при нескінченному збільшенні числа доданків похибка прагне до...
