ектором ВС: Нд: BD в†’ CF. p> Трикутник ACF визначений за трьома сторонами: AF = a + b, AC = d 1 , CF = d 2 . p> План рішення ясний. Пропонуємо читачам завершити вирішення цієї завдання. h3> 2. Осьова симетрія.
Задача . Дано пряма l і дві точки А і В, що належать одній площині, яка визначається прямий l. Знайти таку точку ХL, щоб сума АХ + ХВ була мінімальною.
В
ухилом від схеми. Розглянемо S е . Нехай A ' = S e (A), X = A'B ∩ l. Покажемо, що Х - шукана точка. Справді, для будь-якої точки
Yl: AX + XB = A'B
Дослідження . Завдання завжди має рішення, причому єдине.
3. Поворот.
Задача . Дано: кут АОВ і точка С всередині нього. Побудувати рівносторонній трикутник, одна вершина якого збігається про точкою С, а дві інші лежать на сторонах даного кута.
Аналіз . Нехай О”СDE - шуканий. Зробимо поворот площини навколо точки С на кут 60 В°: R 60 Вє (D) = E, R 60 Вє (OB) = O'B ', причому E = OB ∩ O' B '. Аналогічно знаходимо положення точки D: D = OB ∩ Rc -60 Вє (OA). br/>В
Побудова очевидно. Доказ і дослідження пропонуємо провести самостійно. p> 4. Центральна симетрія. br/>В
Задача. Побудувати квадрат, якщо дано його центр О і дві точки А і В на паралельних його сторонах.
Аналіз. Нехай шуканий квадрат побудований. Тоді А 'і В, де лежать на А' = Z 0 (A), лежать на одній стороні квадрата. Аналогічно В 'і А, де В' = Z 0 (в), лежать на одній стороні квадрата. Тоді на прямих ВА 'і АВ' лежать сторони квадрата. Подальше продовження не викликає труднощів, пропонуємо провести самим.
5. Метод подібності (гомотетии). p> Сутність методу будують фігуру, подібну даної, не враховуючи небудь лінійний розмір або спеціальне положення шуканої фігури відносно даних. Потім будують шукану (найчастіше гомотетии), враховуючи, що коефіцієнт подібності дорівнює відношенню будь-яких двох відповідних відрізків.
Задача. Дано кут і точка всередині нього. Побудувати коло, що проходить через точку А і що стосується сторін кута.
Аналіз. Центр шуканої окружності повинен лежати на бісектрисі даного кута. Знімемо вимога, щоб окружність П‰ проходила через А (це подібно до того, що ні потрібно, щоб відстань від точки О до точки кола дорівнювало відомому відрізку а). Тоді легко побудувати коло П‰ 1 , що стосується сторін утла. Кола П‰ і П‰ 1 гомотетічи (з центром у точці 0). Знайдемо образи точок А і В: А в†’ А ', В в†’ В'. Очевидно, АВ | | А'В '. p> Враховуючи надану, можна намітити наступного план розв'язку:
1) будуємо окружність СО 1 , що стосується сторін кута;
2) проводам ОА;
3) будуємо точки перетину П‰ і П‰ 1 ;
4) з точки А проводимо пряму, паралельну прямій А'В '. Нехай В - одна з точок перетину.
Побудова і доказ опускаємо (самим).
Дослідження. 1.Окружность П‰ 1 можна побудувати і незліченною безліччю способів.
2. Перетином ОА і П‰ 1 завжди є дві точки А 'і А ". p> 3. Через точку А можна провести дві прямі, паралельні відповідно В'А 'або В'А''. Ці дві прямі l 1 і l 2 різні, якщо А ОВ '; і збігається, якщо АОВ'. br/>В
4. Перетину l 1 ∩ ОВ і l 2 ∩ ОВ 'існують і єдині, якщо А ОВ', тобто завдання в цьому випадку має два рішення.
Якщо ж А ОВ ', то цим способом центр шуканої окружності не знайдемо. Для цього принципово нового випадку знайдемо нове специфічне рішення: будуємо пряму, перпендикулярну ОА-бісектрисі даного кута. Далі проведемо бісектриси кутів ЗЗА та МСА. Точки в 1 і в 2 - шукані центри.
Задача (Наочна). Побудувати трикутник з двох кутках, ОІ
В
і медіані, проведеної з якої-небудь вершини.
1. Будуємо трикутник АВ 1 З 1
2. Подібним перетворенням отримаємо шуканий О”АBC
6. Метод інверсії
Сутність методу: поряд з даними і шуканими фігурами розглядають фігури, інверсні їм або їх частинах. Він застосовується в тих випадках, коли побудова фігури, інверсної шуканої, є більш легкою (доступної). Побудувавши інверсну побудованої, отримують шукану. Метод інверсії дає можливість вирішити важкі конструктивні завдання. Недолік - громіздкість (велике число побудов). p> Задача. Дано: точка О і прямі а і в, що не проходять через О. Побудувати промінь, що виходить з О, щоб твір його відрізків від Про до точок перетину з даними прямими було одно 2 , де - довжина відрізка.
Аналіз. Нехай [ОА) - шукани...
