задається вимогою і заміною
В
Таким чином, отримуємо
В
Очевидно,
.
Безліч називається аффинной картою (у даній системі координат). Точки
В
при відповідають одній і тій же точці, що лежить на перетині, тоді і тільки тоді, коли поставивши одиницю на тое у векторі і на тое місце у векторі, ми отримуємо пропорційні вектори. Зокрема,
,
точка відповідає точці, при. Точка з не лежить в, а точка з не лежить в. Природно вважати, що виходить з додаванням точки з координатою.
Дана конструкція називається аффінним покриттям проективного простору.
Тепер розглянемо декілька прикладів
Приклад 2.2 Показати, що.
Для вирішення даної задачі необхідно навести визначення розмірності топологічного простору: нехай - топологічний простір. Розмірністю (позначають) називають точну верхню грань всіх цілих чисел n, таких, що існує ланцюжок
В
відрізняються один від одного непріводімих замкнутих підмножин. Розмірності афінного і проективного просторів визначаються як розмірність проективного простору. p> Як було обумовлено в теоретичній частині роботи, проективне простір можна покрити аффіннимі покриттями, цим ми ототожнив с. А для було доведено, що його розмірність дорівнює (1, гл.I, пропозиція 1.9). p> Приклад 2.3 Показати, що нетеровим.
Виберемо убуваючу ланцюг замкнутих підмножин:
В В
утворює ланцюг, обривається на кінцевому кроці. Припустимо, що ланцюг
не обривати,
то при, тобто p> Маємо ланцюг
в
Продовжуючи цей процес, приходимо до
точка
Ясно, що нетеровим.
Таким чином, ланцюг обривається на кінцевому кроці.
Приклад 2.4 Нехай образ дворазового вкладення в. Це є так звана поверхня Веронезе. Показати, що якщо замкнута крива, то існує гіперповерхня, така що
.
.
простір однорідних многочленів від трьох змінних ступеня два. Очевидно,
,
Образ вкладення Веронезе задається рівняннями
, де
.
Також можна визначити зворотне відображення:
В
за допомогою виразів однорідних координат в.
В
Ці вирази справедливі для тих точок площини, в яких. Аналогічні співвідношення мають місце для і. Відображення Веронезе биективно на свій спосіб, тобто є вкладенням. Тоді застосуємо до замкнутої кривої. Отримаємо
.
Це гіперповерхня в. Нехай
- її рівняння.
Візьмемо Тоді
В
гіперповерхня в
Аналогічно, для
В
Нарешті для
В
Очевидно, що
афінний проективний Нетер топологія
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Хартсхорн В«Алгебраїчна геометріяВ», М.: Мир, 1981
. ...
